Символ Гильберта

Символ Гильберта, или символ норменного вычета, — функция двух аргументов из $K^{\times }\times K^{\times }$ в группу корней $n$-й степени из единицы в локальном поле $K$ (например в поле действительных чисел или в поле p-адических чисел. Он связан с законами взаимности, и может быть определён через символ Артина локальной теории полей классов. Символ Гильберта был введён в его Zahlbericht, с небольшим отличием, что он определял его скорее для элементов глобальных полей, чем для более крупных локальных полей.

Символ Гильберта обобщается на высшие локальные поля.

Квадратичный символ Гильберта

Пусть $K$ — локальное поле, а $K^{\times }$ — его мультипликативная группа ненулевых элементов. Квадратичный символ Гильберта над $K$ — это функция $(a,b)$ из $K^{\times }\times K^{\times }$ в $\{-1;1\}$, определённая как

$(a,b)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{ если }{z}^2=a{x}^2+b{y}^2\text{ имеет ненулевое решение }(x,y,z)\in K^3;\\ -1,& \text{ в противном случае.}\end{array}$

Свойства

Следующие три свойства прямо следуют из определения с помощью выбора подходящего решения для диофантова уравнения, указанного в определении, и выполняются для любого локального поля $K$:

• $(a^2,b)=1$ для любых $a,b$.
• $(a,b)=(b,a)$ для любых $a,b$.
• Для любого $a\in K^{\times }$, такого что $a-1\in K^{\times }$, верно, что $(a,1-a)=1$

Бимультипликативность, то есть

$(a,b_1{b}_2)=(a,b_1)\cdot (a,b_2)$

для любых $a,b_1,b_2\in K^{\times }$. Это свойство является более трудным для доказательства и требует разработки локальной теории полей классов.

Третье свойство показывает, что символ Гильберта является примером символа Штейнберга и, таким образом, factors над второй K-группе Милнора $K_2^M(K)$, которая определяется как

$K^{\times }\otimes K^{\times }/(a\otimes (1-a),a\in K\setminus \{0;1\})$

По первому свойству он even factors над $K_2^M(K)/2$. Это первый шаг в направлении к гипотезе Милнора.

Интерпретация как алгебры

Символ Гильберта может быть также использован для обозначения центральной простой алгебры над $K$ с базисом $1,i,j,k$ и правилами умножения $i^2=a$, $j^2=b$, $ij=-ji=k$.

Символы Гильберта над рациональными числами

Для точки (англ. place) $v$ из поля рациональных чисел и рациональных чисел $a,b$ обозначим $(a,b{)}_v$ символ Гильберта в соответствующем пополнении ${\mathbb{Q}}_v$. Как обычно, если $v$ это показатель, связанный с простым числом $p$, то соответствующее пополнение является полем $p$-адических чисел, а если $v$ является бесконечной точкой, то пополнение является полем действительных чисел.

В поле действительных чисел, $(a,b{)}_{\mathrm{\infty }}=+1$ тогда и только тогда, когда $a>0$ или $b>0$, и $(a,b{)}_{\mathrm{\infty }}=-1$, если оба $a,b<0$.

Над $p$-адическими числами с нечётным $p$ положим $a=p^{\alpha }u$ и $b=p^{\beta }v$, где $u,v$ — целые числа, взаимно простые с $p$, тогда мы получим

$(a,b{)}_p=(-1{)}^{\alpha \beta ϵ(p)}{\left(\frac{u}{p}\right)}^{\beta }{\left(\frac{v}{p}\right)}^{\alpha }$, где $ϵ(p)=(p-1)/2$

а $\left(\frac{u}{p}\right),\left(\frac{v}{p}\right)$ — символы Лежандра.

Над $2$-адическими числами положим $a=2^{\alpha }u$ и $b=2^{\beta }v$, где $u,v$ — нечётные числа, тогда мы получим

$(a,b{)}_2=(-1{)}^{ϵ(u)ϵ(v)+\alpha \omega (v)+\beta \omega (u)}$, where $\omega (x)=(x^2-1)/8.$

Известно, что если $v$ пробегает все точки (англ. place), $(a,b{)}_v=1$ для почти всех точек. Следовательно, следующая формула с бесконечным произведением

$\prod _v(a,b{)}_v=1$

имеет смысл. Эта формула эквивалентна квадратичному закону взаимности.

Радикал Капланского

Символ Гильберта на поле $F$ определяется как отображение

$(\cdot ,\cdot ):F^{\times }/(F^{\times }{)}^2\times F^{\times }/(F^{\times }{)}^2\to Br(F)$

где $Br(F)$ — группа Брауэра поля $F$. Ядро этого отображения — множество всех элементов $a$ таких, что $(a,b)=1$ для всех $b$ — это радикал Капланского поля $F$.

Радикал является подгруппой $F^{\times }/(F^{\times }{)}^2$, отождествляемой с подгруппой of $F^{\times }$. Радикал содержит группу, равную $F^{\times }$ если и только если $F$ не является формально вещественным и имеет u-инвариант не более 2. С другой стороны, поле с радикалом $(F^{\times }{)}^2$ называется полем Гильберта.

Символ Гильберта в общем случае

Если $K$ локальное поле, содержащее группу корней $n$-й степени из единицы $U_n$ для некоторого $n$, взаимно простого с характеристикой $K$, то символ Гильберта — это функция из $K^{\times }\times K^{\times }$ в $U_n$. Его можно выразить через символ Артина как

$(a,b)\sqrt[n]{b}=(a,K(\sqrt[n]{b})/K)\sqrt[n]{b}$

Свойства

Символ Гильберта мультипликативен по обеим аргументам (билинеен):

$(ab,c)=(a,c)(b,c)$

$(a,bc)=(a,b)(a,c)$

кососимметричен:

$(a,b)=(b,a{)}^{-1}$

невырожден:

$(a,b)=1$ для всех $b$ тогда и только тогда, когда $a\in (K^{\times }{)}^n$

Он замечает норму (поэтому и называется символ норменного вычета):

$(a,b)=1$ тогда и только тогда, когда $a$ — норма элемента из $K(\sqrt[n]{b})$

Он обладает свойствами символа Штейнберга:

$(a,1-a)=1;(a,-a)=1.$

Закон взаимности Гильберта

Закон взаимности Гильберта утверждает, что если $a,b$ лежат в поле алгебраических чисел, которое содержит корни $n$-й степени из единицы, то

$\prod _p(a,b{)}_p=1$

где $p$ пробегает конечные и бесконечные простые числового поля, а $(a,b{)}_p$ — это символ Гильберта в пополнении по $p$. Закон взаимности Гильберта следует из закона взаимности Артина и определения символа Гильберта через символ Артина.

Символ степенного вычета

Если $K$ — числовое поле, содержащее корни $n$-й степени из единицы, $p$ — простой идеал, не делящий $n$, $\pi$ — простой элемент локального поля от $p$, а $a$ взаимно просто с $p$, то символ степенного вычета $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{p})$, связанный с символом Гильберта соотношением

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{p})=(\pi ,a{)}_p$

Символ степенного вычета расширяется до дробных идеалов по мультипликативности и определяется для элементов поля чисел, полагая $(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{(b)})$, где $(b)$ — главный идеал, порождённый $b$. Закон взаимности Гильберта влечёт следующий закон взаимности для символа степенного вычета: для взаимно простых $a,b$ друг к другу и к $n$:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{a})\prod _{p|n,\mathrm{\infty }}(a,b{)}_p$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• [1] на encyclopediaofmath
• HilbertSymbol на Mathworld