Локальное поле

Локальное поле — определённый тип полей с топологией, часто возникающих как пополнения полей.

Определение

Локально компактное топологическое поле с недискретной топологией называется локальным.

Типы

Существует два основных вида локальных полей: те, в которых абсолютное значение архимедово, и те, в которых это не так. Первые называют архимедовыми локальными полями, а вторые — неархимедовыми локальными полями.

Любое локальное поле изоморфно (как топологическое поле) одному из следующих полей:

• Архимедовы локальные поля (характеристика равна нулю): поле вещественных чисел $ℝ$ и поле комплексных чисел $ℂ$.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: р-адические числа ${\mathbb{Q}}_p$ и их конечные расширения.
• Неархимедовы локальные поля характеристики $p\ne 0$: формальные ряды Лорана над конечным полем ${𝔽}_{p^n}$. (Все их конечные расширения тоже изоморфны полям того же вида.)

Свойства

Общие свойства

• Аддитивная группа локального поля, как любая локально компактная топологическая группа, обладает единственной (с точностью до умножения на положительное число) мерой Хаара μ.
• На любом локальном поле $K$ можно ввести абсолютную величину $|a|$ такую, что

  $|a|=\frac{\mu (aX)}{\mu (X)}$

для некоторого (а значит и любого) измеримого подмножества $X\subset K$ с ненулевой конечной мерой Хаара.

Неархимедовы поля

• В неархимедовом локальном поле $K$ с абсолютной величиной $|*|$ можно дать следующие определения:
  • Кольцо целых чисел

    $𝒪=\{a\in K:|a|⩽1\}.$

    • Оно образует дискретное нормированное кольцо и компактный шар в $(K,|*|)$.
  • Единицы в кольце целых чисел определяются как ${𝒪}^{\times }=\{a\in K:|a|=1\}$.
    • Они образуют группу и единичную сферу в $(K,|*|)$.
  • Единственный ненулевой простой идеал $𝔪$ в кольце целых чисел является открытым единичным шаром

    $\{a\in K:|a|<1\},$

и его образующий элемент $\omega \in 𝔪$ называется униформизирующим элементом $K$.

• Поле остатков $k=𝒪/𝔪$ является конечным, поскольку компактно и дискретно.
• При этом $|\omega |=\frac{1}{|k|}$, где $|k|$ — мощность поля остатков $k$.

• Каждый ненулевой элемент $a\in K$ можно записать как $a={\omega }^n\cdot u$, где $u$ — единичный элемент, $n$ — целое число, определяемое однозначно по $a$.
  • В частности $|a|=|k{|}^{-n}=|\omega {|}^n.$

См. также

Глобальное поле