Симметризация и антисимметризация функции

Симметризация — это процесс, который преобразует любую функцию от n переменных в симметрическую функцию от n переменных.

Антисимметризация преобразует любую функцию от n переменных в антисимметрическую функцию.

Две переменные

Пусть $S$ — множество, а $A$ — абелева группа. Если задано отображение $\alpha :S\times S\to A$, $\alpha$ называется симметрическим отображением, если $\alpha (s,t)=\alpha (t,s)\mathrm{\forall }s,t\in S$.

Симметризация отображения $\alpha :S\times S\to A$ — это отображение $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)+\alpha (y,x)$.

Антисимметризация или кососимметризация отображения $\alpha :S\times S\to A$ — это отображение $(x,y)\mapsto \alpha (x,y)-\alpha (y,x)$.

Сумма симметризации и антисеммитризации отображения α равна 2α. Таким образом, если кольцо допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению), как например, вещественные числа, любую функцию можно представить как сумму симметрической и антисимметрической функций.

Симметризация симметрического отображения равносильна его удвоению, тогда как симметризация Шаблон:Не переведено 5 равна нулю. Аналогично, антисимметризация симметрического отображения равна нулю, в то время как антисимметризация знакопеременного отображения равносильна его удвоению.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения являются билинейными отображениям. Если кольцо допускает деление на 2, любая билинейная форма является суммой симметрической формы и кососимметрической и нет разницы между симметрическими и квадратичными формами.

Если кольцо не допускает деление на 2, не всякую форму можно разложить на симметрическую и кососимметрическую. Так, например, над целыми числами связанная симметрическая форма (над рациональными числами) может использовать половинки целых значений, в то время как над $𝐙/2𝐙,$ функция кососимметрическая тогда и только тогда, когда она cимметрическая (так как Шаблон:Nowrap).

Это ведёт к понятию Шаблон:Не переведено 5 и ε-симметрических форм.

Теория представлений

В терминах теории представлений:

• перестановка переменных даёт представление симметрической группы в пространстве функций от двух переменных,
• симметрические и антисимметрические функции являются подпредставлениями, соответствующими Шаблон:Не переведено 5 и знаковому представлению
• симметризация и антисимметризация отображает функцию в эти подпредставления и, если кольцо допускает деление на 2, это даёт проекции.

Поскольку симметрическая группа порядка 2 равна циклической группе порядка 2 (${\mathrm{S}}_2={\mathrm{C}}_2$), это соответствует дискретному преобразованию Фурье порядка 2.

n переменных

В более общем случае, если дана функция от n переменных, можно её симметризовать путём взятия суммы по всем $n!$ перестановкам переменныхШаблон:Sfn или антисимметризовать путём взятия суммы по всем $n!/2$ чётным перестановкам и вычитания из неё суммы всех $n!/2$ нечётных перестановок (за исключением случая Шаблон:Nowrap, когда имеется единственная перестановка, так что число перестановок нечётно).

В этом случае симметризация (соответственно, антисимметризация) симметрической функции умножается на $n!$. Таким образом, если кольцо допускает деление на $n!$, как бывает в случае поля характеристики $0$ или $p>n$, это даёт проекции, если разделить на $n!$.

В терминах теории представлений имеются подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому, но для случая $n>2$ существую и другие — см. Шаблон:Не переведено 5 и Симметрический многочлен.

Бутстрэп

Если задана функция от k переменных, можно получить симметрическую функцию от n переменных путём взятия суммы над подмножествами из k переменных. В статистике это называется бутстрэпом, а ассоциированные статистики называются Шаблон:Не переведено 5.

Ссылки

• Шаблон:Книга