Симметрическая функция

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежаШаблон:Sfn. Если, например, $f(𝐱)=f(x_1,x_2,x_3)$, функция может быть симметрической на всех переменных или парах $(x_1,x_2)$, $(x_2,x_3)$ или $(x_1,x_3)$. Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется. Также обычно не важно точное число переменных, считается что их просто достаточно много. Чтобы сделать эту идею более строгой, с помощью проективного предела осуществляется переход к так называемому кольцу симметрических функций $\mathrm{\Lambda }$, формально содержащему бесконечное число переменных.

Симметризация

Шаблон:Основная статья Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Кольцо симметрических функций

Рассмотрим действие симметрической группы $S_n$ на $\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n]$ — кольцо многочленов от n переменных. Она действует перестановкой переменных. Как было сказано выше, симметрические многочлены в точности те, что не меняются под действием элементов этой группы. Таким образом, они образуют подкольцо:

${\mathrm{\Lambda }}_n=\mathbb{Z}[x_1,\dots ,x_n{]}^{S_n}$

В свою очередь, ${\mathrm{\Lambda }}_n$ является градуированным кольцом:

${\mathrm{\Lambda }}_n=\underset{k\ge 0}{⨁}{\mathrm{\Lambda }}_n^k$, где ${\mathrm{\Lambda }}_n^k$ состоит из однородных симметрических многочленов степени k, а также нулевого многочлена.

Далее с помощью проективного предела определяется кольцо симметрических функций степени k:

${\mathrm{\Lambda }}^k=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}{\mathrm{\Lambda }}_n^k$

Наконец, получаем градуированное кольцо $\mathrm{\Lambda }=\underset{k\ge 0}{⨁}{\mathrm{\Lambda }}^k$, которое и называется кольцом симметрических функций.

Замечания.

• $\mathrm{\Lambda }$ не является проективным пределом ${\mathrm{\Lambda }}_k$ (в категории колец). Например, бесконечное произведение $\prod _{j=1}^{\mathrm{\infty }}(1+x_j)$ не содержится в $\mathrm{\Lambda }$, т.к. содержит мономы сколь угодно большой степени.
• "Определитель" $(\prod _{i<j}(x_i-x_j){)}^2$ также не имеет аналога в $\mathrm{\Lambda }$.

Базисы в пространстве симметрических функций

• Мономиальный базис. Для каждого разбиения $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots )$ определим моном $x^{\lambda }=x_1^{{\lambda }_1}{x}_2^{{\lambda }_2}\dots$ Он не является симметрическим многочленом, а также содержит лишь конечное число переменных, входящих в него с ненулевой степенью. Теперь просуммируем множество мономов $x_{\alpha }^{\lambda }$, получаемых из него всевозможными перестановками индексов $\alpha$ (каждый моном суммируется лишь один раз, даже если его можно получить с помощью нескольких различных перестановок): $m_{\lambda }=\sum _{\alpha }{x}_{\alpha }^{\lambda }$. Легко понять, что $m_{\lambda }$ такие, что $|\lambda |=n$ образуют базис ${\mathrm{\Lambda }}^n$, а значит все $m_{\lambda }$ образуют базис $\mathrm{\Lambda }$, который называется мономиальным.

• Элементарные симметрические функции. Для каждого целого $r\ge 0$ определим $e_r$ — сумму всех возможных произведений из r различных переменных. Таким образом, $e_0=1$, при $r\ge 1$:

$e_r=\sum _{i_1<i_2<\dots <i_r}{x}_{i_1}{x}_{i_2}\dots x_{i_r}=m_{(1^r)}$

Для каждого разбиения $\lambda$ элементарная симметрическая функция это $e_{\lambda }=e_{{\lambda }_1}{e}_{{\lambda }_2}\dots$ Они образуют базис в пространстве $\mathrm{\Lambda }$.

• Полные симметрические функции. Для каждого целого $r\ge 0$ определим $h_r$ — сумму всех мономиальных функций степени r. Таким образом, $h_0=1$, при $r\ge 1$:

$h_r=\sum _{|\lambda |=r}{m}_{\lambda }$

Далее, как и случае элементарных функций, положим $h_{\lambda }=h_{{\lambda }_1}{h}_{{\lambda }_2}\dots$

• Степенные суммы. Для каждого $r\ge 1$ степенной суммой называется $p_r=\sum _{i\ge 1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i^r=m_{(r)}$.

Для разбиения $\lambda$ степенная сумма определяется как $p_{\lambda }=p_{{\lambda }_1}{p}_{{\lambda }_2}\dots$

Тождества.

• $\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{e}_i{h}_{k-i}=0=\sum _{i=0}^k(-1{)}^i{h}_i{e}_{k-i}$, для всех k > 0,
• $k{e}_k=\sum _{i=1}^k(-1{)}^{i-1}{p}_i{e}_{k-i}$, для всех k > 0,
• $k{h}_k=\sum _{i=1}^k{p}_i{h}_{k-i}$, для всех k > 0.

Соотношения для производящих функций.

Легко показать, что $E(t)=\sum _{r\ge 0}{e}_r{t}^r=\prod _{i\ge 1}(1+x_{i}t)$

Также $H(t)=\sum _{r\ge 0}{h}_r{t}^r=\prod _{i\ge 1}(1-x_{i}t{)}^{-1}$

Отсюда следует соотношение $H(t)E(-t)=1$

Наконец, $P(t)=\sum _{r\ge 1}{p}_r{t}^{r-1}=\sum _{i\ge 1}\sum _{r\ge 1}{x}_i^r{t}^{r-1}=\sum _{i\ge 1}\frac{x_i}{1-x_{i}t}=\sum _{i\ge 1}\frac{d}{dt}ln\frac{1}{1-x_{i}t}=\frac{d}{dt}ln\prod _{i\ge 1}(1-x_{i}t{)}^{-1}=\frac{d}{dt}lnH(t)=\frac{H^{\prime }(t)}{H(t)}$.

Аналогично получаем $P(-t)=\frac{d}{dt}lnE(t)=\frac{E^{\prime }(t)}{E(t)}$.

• Функции Шура. Пусть имеется конечное число переменных $x_1,x_2,\dots ,x_n$ и дано разбиение $\lambda$ такое, что $l(\lambda )\le n$ (длина разбиения не превосходит число переменных). Тогда многочленом Шура разбиения $\lambda$ от n переменных называется $s_{\lambda }(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\frac{det(x_i^{{\lambda }_j+n-j}{)}_{1\le i,j\le n}}{det(x_i^{n-j}{)}_{1\le i,j\le n}}$ — однородный симметрический многочлен степени $|\lambda |$. При $n\to \mathrm{\infty }$ эти многочлены сходятся к единственному элементу $s_{\lambda }\in \mathrm{\Lambda }$, называемому функцией Шура разбиения $\lambda$.

• Функции Джека. При введении особого скалярного произведения на $\mathrm{\Lambda }$ являются обобщением функций Шура, сохраняя многие из их свойств.

Приложения

U-статистика

Шаблон:Основная статья В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую Шаблон:Не переведено 5. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Macdonald I. G. Symmetric Functions and Orthogonal Polynomials. New Brunswick, New Jersey. University Lecture Series, 12. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1998. xvi+53 pp. Шаблон:ISBN Шаблон:MathSciNet
• Macdonald I. G. Symmetric Functions and Hall Polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. Шаблон:ISBN Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  — §5.1 Symmetric functions, p. 222–225.
  — §5.7. Symmetric Functions Over Finite Fields, p. 259–270.
• Шаблон:Книга
  — §33. Симметрические функции, с. 121.