Функции Джека

В математике, функции Джека получаются как проективный предел многочленов Джека, введённых Шаблон:Iw. Многочлен Джека это однородный, симметрический многочлен который обобщает многочлены Шура и Шаблон:Iw, и, в свою очередь, обобщён Шаблон:Iw и Шаблон:Iw.

Определение

В кольце ${\mathrm{\Lambda }}^n$ однородных симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом: $<p_{\lambda },p_{\mu }>=z_{\lambda }{\delta }_{\mu \lambda }$, где $p_{\lambda }(x)$ — базис из степенных сумм, $z_{\lambda }$ — централизатор разбиения $\lambda$, а ${\delta }_{\mu \lambda }$ — символ Кронекера. При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис, а матрица перехода от мономиального базиса $m_{\lambda }$ к базису из функций Шура $s_{\lambda }$ будет верхнетреугольной.

Более общий вариант задания скалярного произведения $<p_{\lambda },p_{\mu }>={\alpha }^{l(\lambda )}{z}_{\lambda }{\delta }_{\mu \lambda }$ приводит к рассмотрению базиса из функций Джека со схожими свойствами. Они обозначаются $J_{\lambda }(x;\alpha )$ и однозначно определяются из следующих трёх свойств:

(P1) (ортогональность) $<J_{\lambda }(\alpha ),J_{\mu }(\alpha )>=0$ при $\lambda ≠\mu$

(P2) (верхнетреугольность) $J_{\lambda }(\alpha )=\sum _{\mu \le \lambda }{\nu }_{\lambda \mu }{m}_{\mu }$

(имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)

(P3) (нормализация) $[m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+l(s)+1)$

(суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s, l(s) - число ячеек под s)

Т.е. функции Джека являются результатом ортогонализации методом Грамма-Шмидта мономиального базиса.

Рекурсивная формула для многочленов Джека

Функция Джека $J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1,x_2,\dots ,x_m)$ разбиения числа $k$, с параметром $\alpha$, заданным числом аргументов $x_1,x_2,\dots ,x_m$ может также быть определена следующей рекурсивной формулой:

Для m=1

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1)=x_1^k(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )$

Для m>1

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1,x_2,\dots ,x_m)=\sum _{\mu }{J}_{\mu }^{(\alpha )}(x_1,x_2,\dots ,x_{m-1})x_m^{|\kappa /\mu |}{\beta }_{\kappa \mu },$

где суммирование производится по всем разбиениям $\mu$ таким что косое разбиение $\kappa /\mu$ является горизонтальной полосой, а именно

${\kappa }_1\ge {\mu }_1\ge {\kappa }_2\ge {\mu }_2\ge \cdots \ge {\kappa }_{n-1}\ge {\mu }_{n-1}\ge {\kappa }_n$ (${\mu }_n$ должно равняться 0, иначе $J_{\mu }(x_1,\dots ,x_{n-1})=0$) и

${\beta }_{\kappa \mu }=\frac{\prod _{(i,j)\in \kappa }{B}_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }{B}_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)},$

где $B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)$ равняется ${{\kappa }_j}^{\prime }-i+\alpha ({\kappa }_i-j+1)$ если ${{\kappa }_j}^{\prime }={{\mu }_j}^{\prime }$ и ${{\kappa }_j}^{\prime }-i+1+\alpha ({\kappa }_i-j)$ иначе. Выражения ${\kappa }^{\prime }$ и ${\mu }^{\prime }$ обозначают сопряжённые разбиения $\kappa$ и $\mu$ соответственно. Обозначение $(i,j)\in \kappa$ значит, что произведение берётся по всем координатам $(i,j)$ ячеек в диаграмме Юнга разбиения $\kappa$.

Комбинаторная формула

В 1997, Ф. Кноп и С. Сахи Шаблон:Sfn получили чисто комбинаторную формулу для многочленов Джека $J_{\mu }^{(\alpha )}$ от n переменных:

$J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _T{d}_T(\alpha )\prod _{s\in T}{x}_{T(s)}.$

Сумма берётся по всем допустимым таблицам формы $\lambda ,$ и

$d_T(\alpha )=\prod _{s\in K}{d}_{\lambda }(\alpha )(s),$

где

$d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).$

Допустимая таблица формы $\lambda$ это заполнение диаграммы Юнга $\lambda$ числами 1,2,…,n такими, что для каждой ячейки (i,j) в таблице,

• $T(i,j)\ne T(i^{\prime },j)$, если $i^{\prime }>i.$
• $T(i,j)\ne T(i,j-1)$, если $j>1$ и $i^{\prime }<i.$

$K\subset T$ — множество критических ячеек $s=(i,j)\in \lambda$, таких что $j>1$ и $T(i,j)=T(i,j-1).$

Этот результат можно рассматривать как особый случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда.

C нормализация

Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:

$⟨f,g⟩={\int }_{[0,2\pi {]}^n}f(e^{i{\theta }_1},\dots ,e^{i{\theta }_n})\overline{g(e^{i{\theta }_1},\dots ,e^{i{\theta }_n})}\prod _{1\le j<k\le n}{|e^{i{\theta }_j}-e^{i{\theta }_k}|}^{\frac{2}{\alpha }}d{\theta }_1\cdots d{\theta }_n$

Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как

$C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1,\dots ,x_n)=\frac{{\alpha }^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}{J}_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1,\dots ,x_n),$

где

$j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }({{\kappa }_j}^{\prime }-i+\alpha ({\kappa }_i-j+1))({{\kappa }_j}^{\prime }-i+1+\alpha ({\kappa }_i-j)).$

Для $\alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_1,\dots ,x_n)$ обычно обозначается $C_{\kappa }(x_1,\dots ,x_n)$ и называется Шаблон:Iw.

P нормализация

P нормализация задаётся тождеством $J_{\lambda }=H{\text{'}}_{\lambda }{P}_{\lambda }$, где

$H{\text{'}}_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1),$

где $a_{\lambda }$ и $l_{\lambda }$ обозначают число ячеек справа от данной и число ячеек ниже данной соответственно. Таким образом, при $\alpha =1,P_{\lambda }$ является обычной функцией Шура.

Подобно многочленам Шура, $P_{\lambda }$ может быть выраженно суммой по диаграммам Юнга. Однако, нужно добавить к каждой таблице дополнительный вес, зависящий от параметра $\alpha$.

Таким образом, формула Шаблон:Sfn для функций Джека $P_{\lambda }$ задаётся как

$P_{\lambda }=\sum _T{\psi }_T(\alpha )\prod _{s\in \lambda }{x}_{T(s)},$

где сумма берётся по всем таблицам формы $\lambda$, и $T(s)$ обозначает число, записанное в ячейке s таблицы T.

Вес ${\psi }_T(\alpha )$ можно определить следующим образом: Каждая таблица T формы $\lambda$ может быть представлена как последовательность разбиений

$\mathrm{\varnothing }={\nu }_1\to {\nu }_2\to \dots \to {\nu }_n=\lambda ,$

где ${\nu }_{i+1}/{\nu }_i$ обозначает косую форму с содержимым i в T. Тогда

${\psi }_T(\alpha )=\prod _i{\psi }_{{\nu }_{i+1}/{\nu }_i}(\alpha ),$

где

${\psi }_{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}\frac{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}\frac{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}$

и произведение берётся только по всем ячейкам s в $\lambda$, таким что s имеет ячейку из $\lambda /\mu$ в том же ряду, но не в одном столбце .

Связь с многочленами Шура

При $\alpha =1$ многочлен Джека является скалярным множителем многочлена Шура

$J_{\kappa }^{(1)}(x_1,x_2,\dots ,x_n)=H_{\kappa }{s}_{\kappa }(x_1,x_2,\dots ,x_n),$

где

$H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }{h}_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }({\kappa }_i+{{\kappa }_j}^{\prime }-i-j+1)$

произведение берётся по всем длинам крюков разбиения $\kappa$.

Характеры Джека

Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения ${\theta }_{\mu }^{\lambda }(\alpha )$ называются характерами Джека: $J_{\lambda }^{(\alpha )}=\sum _{\rho }{\theta }_{\rho }^{\lambda }{p}_{\rho }.$

Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:

${\theta }_{(1^n)}^{\lambda }(\alpha )=1,$

${\theta }_{(1^{n-2}{2}^1)}^{\lambda }(\alpha )=\sum _{s\in \lambda }(\alpha a^{\prime }(s)-l^{\prime }(s)),$

${\theta }_{(n)}^{\lambda }(\alpha )=\prod _{s\in \lambda \setminus (1,1)}(\alpha a^{\prime }(s)-l^{\prime }(s)),$

${\theta }_{\mu }^{(n)}(\alpha )=\frac{n!}{z_{\mu }}{\alpha }^{n-l(\mu )},$

${\theta }_{(1^n)}^{\lambda }(\alpha )={\theta }_{\mu }^{(n)}(-1)=\frac{n!}{z_{\mu }}(-1{)}^{n-l(\mu )},$

где $a^{\prime }(s)$ — число ячеек слева от s в диаграмме Юнга, $l^{\prime }(s)$ — над s, $z_{\lambda }$ — централизатор разбиения $\lambda =[1^{m_1(\lambda )}{2}^{m_2(\lambda )}\dots ]$, равный $z_{\lambda }=\prod _i{i}^{m_i(\lambda )}{m}_i(\lambda )!$

Свойства характеров Джека:

• Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от $\alpha$.
• Соотношение ортогональности. $\sum _{\nu }{z}_{\nu }{\alpha }^{l(\nu )}{\theta }_{\nu }^{\lambda }(\alpha ){\theta }_{\nu }^{\mu }(\alpha )={\delta }_{\lambda \mu }{h}_{\lambda }(\alpha )\cdot h{\text{'}}_{\lambda }(\alpha ).$
• При $\alpha =1$ характеры Джека пропорциональны характерам симметрической группы ( $S_n$, где $n=|\lambda |$), откуда они и получили своё название.

Свойства

Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1,x_2,\dots ,x_m)=0$, если ${\kappa }_{m+1}>0.$

Аргумент матрицы

Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если $X$ матрица с собственными значениями $x_1,x_2,\dots ,x_m$, тогда

$J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_1,x_2,\dots ,x_m).$

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman.
• MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package)
• SAGE documentation for Jack Symmetric Functions