Сингулярное распределение

Сингулярное распределение (по отношению к мере $\mu$) — это распределение вероятностей, которое сосредоточено на множестве $M$ таком, что $\mu (M)=0$. Однако часто используют более узкое определение, гласящее, что сингулярным называют распределение в пространстве ${ℝ}^n$, сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность. Важно отметить, что согласно общему определению любое дискретное распределение является сингулярным по отношению к мере Лебега, но в частном определении дискретные распределения выведены из множества сингулярных.

Для одномерного пространства также можно утверждать, что распределение сингулярно, если множество точек роста у функции распределения имеет нулевую меру.

Свойства

Сингулярное распределение не может являться абсолютно непрерывным (по теореме Радона — Никодима).

Любое вероятностное распределение $F$ может быть представлено в виде следующей суммы:

$F=p{F}_s+q{F}_{ac}$,

где $p⩾0$, $q⩾0$, $p+q=1$, распределение $F_s$ — сингулярно по отношению к мере $\mu$, а распределение $F_{ac}$ — абсолютно непрерывно по отношению к этой же мере.

Примеры

Простейшим примером сингулярного распределения является распределение, сосредоточенное на канторовом множестве (его функцией распределения является лестница Кантора).

Более часто встречающимся в практических задачах сингулярным распределением является распределение случайных направлений в двухмерном евклидовом пространстве. Случайное направление соответствует единичному вектору, повёрнутому на случайный угол относительно вектора $(1,0)$. Выбор случайного направления равнозначен выбору случайной точки на единичной окружности, которая, в свою очередь, имеет нулевую площадь, следовательно, это распределение — сингулярно.