Золотое сечение

Иррациональные числа Шаблон:Вещественные константы
Система счисления	Оценка числа Φ
Десятичная	1.6180339887498948482…
Двоичная	1.1001111000110111011…
Шестнадцатеричная	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Шестидесятеричная	1; 37 04 55 20 29 39 …
Рациональные приближения	3/2; 5/3; 8/5; 13/8; 21/13; 34/21; 55/34; 89/55; … $F_{n+1}/F_n$, где $F_n$ — числа Фибоначчи (перечислено в порядке увеличения точности)
Непрерывная дробь	$1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\ddots }}}}$

Шаблон:Врезка Золото́е сече́ние (золота́я пропо́рция, иначе: деле́ние в кра́йнем и сре́днем отноше́нии, гармони́ческое деление) — отношение частей и целого, при котором отношения частей между собой и целого к наибольшей части равны. Такие отношения наблюдаются в природе, открыты в науке и соблюдаются в искусстве. На «золотых отрезках» основываются различные системы и способы пропорционирования в архитектуре. Соотношение двух величин $a$ и $b$, при котором бо́льшая величина относится к меньшей так же, как сумма этих величин к бо́льшей, то есть $\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$, является универсальным. Отсюда название, которое впервые появилось в эпоху Возрождения, в частности в трактате францисканского монаха, математика Луки Пачоли Божественная пропорция (Шаблон:Lang-la (1509 год)), но закономерность подобных отношений была известна гораздо раньше: в Древней Месопотамии, Египте и античной Греции.

Исторически в древнегреческой математике золотым сечением именовалось деление отрезка $AB$ точкой $C$ на две части так, что бо́льшая часть относится к меньшей, как весь отрезок к большей: $\frac{BC}{AC}=\frac{AB}{BC}.$ Это понятие было распространено не только на отрезки, но и на произвольные величины.

Число, равное отношению $a/b,$ обычно обозначается прописной греческой буквой $\mathrm{\Phi }$ (фи), в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия, реже — греческой буквой $\tau$ (тау).

Из исходного равенства (например, принимая $AB$ за 1, $AC$ за неизвестную переменную $y$ и $BC$ за $x,$ и решая получившуюся систему уравнений $x+y=1;x/y=1/x$) получается квадратное уравнение: $$1+\frac{1}{x}=x⟺x^2-x-1=0,$$ а после его решения и два его корня: $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ и $-\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}.$

Обратное число, обозначаемое строчной буквой $\phi$,

$\phi =\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=e^{-0,2i\pi }+e^{0,2i\pi }=e^{-0,2\ln -1}+e^{0,2\ln -1}=(-1{)}^{-0,2}+(-1{)}^{0,2}=\frac{1}{\sqrt[5]{-1}}+\sqrt[5]{-1}=2\Re (\sqrt[5]{-1})\approx 0,61803$

Легко видеть, что

$\phi =\mathrm{\Phi }-1.$

Число $\mathrm{\Phi }$ называется также золотым числом.

Для практических целей обычно ограничиваются приблизительным значением $\mathrm{\Phi }\approx 1,618$ или $\mathrm{\Phi }\approx 1,62.$ В процентах округлённое значение золотого сечения — это деление некоторой величины в отношении Шаблон:Nobr к Шаблон:Nobr

Иллюстрация к определению

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств (например, Шаблон:Nums), но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

История

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (Шаблон:Lang-el2) впервые встречается в «Началах» Евклида (около 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, усматривал в этой пропорции «божественную суть», выражающую триединство Бога Отца, Сына и Святого Духа.

Неизвестно точно, кто и когда именно впервые ввёл в обращение термин «золотое сечение». Несмотря на то, что некоторые авторитетные авторы связывают появление этого термина с Леонардо да Винчи в XV веке или относят появление этого термина к XVI веку, самое раннее употребление этого термина находится у Мартина Ома в 1835 году, а именно в примечании ко второму изданию его книги «Чистая элементарная математика», в котором Ом пишет, что это сечение часто называют золотым сечением (Шаблон:Lang-de). Из текста этого примечания следует, что Ом не придумал этот термин самШаблон:SfnШаблон:Sfn, хотя некоторые авторы утверждают обратное. Тем не менее, исходя из того, что в первом издании своей книги Ом еще не употреблял этот термин, Роджер Герц-Фишлер делает вывод о том, что этот термин, возможно, появился в первой четверти XIX векаШаблон:Sfn. Марио Ливио считает, что он получил популярность в устной традиции около 1830 года.Шаблон:Sfn В любом случае именно после Ома термин стал распространён в немецкой математической литературеШаблон:Sfn.

Математические свойства

• $\mathrm{\Phi }$ — иррациональное алгебраическое число, положительное решение квадратного уравнения $x^2-x-1=0,$ из которого, в частности, следуют соотношения:

  ${\mathrm{\Phi }}^2-\mathrm{\Phi }=1,$

  $\mathrm{\Phi }\cdot (\mathrm{\Phi }-1)=1.$

• $\mathrm{\Phi }$ представляется через тригонометрические функции (см. «Тригонометрические константы»):
  • $\mathrm{\Phi }=2\cos \frac{\pi }{5}=2\cos 36^{\circ }.$
  • $\mathrm{\Phi }=2\sin (3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.$

• Если угол между диагональю и меньшей стороной прямоугольника, относящейся к большей стороне как 1:2, поделить пополам, то по формуле тангенса половинного угла получится соотношение:

$\frac{1}{\mathrm{\Phi }}=\phi =\mathrm{tg}\left(\frac{\mathrm{arctg}(2)}{2}\right)=\frac{2}{1+\sqrt{1+2^2}}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.$

• $\mathrm{\Phi }$ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:

  $\mathrm{\Phi }=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots }}}}.$

• $\mathrm{\Phi }$ представляется в виде бесконечной цепной дроби

  $\mathrm{\Phi }=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\dots }}},$

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи $\frac{F_{n+1}}{F_n}$. Таким образом,

• $\mathrm{\Phi }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F_{n+1}}{F_n}.$

• Мера иррациональности $\mathrm{\Phi }$ равна 2.

Отрезание квадрата от прямоугольника, имеющего золотую пропорцию

• Отрезав квадрат от прямоугольника, построенного с золотой пропорцией, мы получаем новый, уменьшенный прямоугольник с тем же отношением сторон $\mathrm{\Phi }=a/b,$ что и у исходного прямоугольника $\mathrm{\Phi }=(a+b)/a.$
• Продолжая отрезать квадраты против часовой стрелки получим согласно рисунку координаты предельной точки $(a+b)\frac{1}{1-{\phi }^4},a\frac{1-{\phi }^4-{\phi }^5}{1-{\phi }^4}.$ Более того, это точка будет лежать на пересечении диагоналей первого и второго прямоугольников.

Золотое сечение в пятиконечной звезде

• В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится другим отрезком, пересекающим его, в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны $\mathrm{\Phi }.$ Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между любыми соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно $\mathrm{\Phi }.$

Построение золотого сечения

• Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка $AB$ можно построить следующим образом: в точке $B$ проводят перпендикуляр к $AB,$ откладывают на нём отрезок $BC,$ равный половине $AB,$ на отрезке $AC$ откладывают отрезок $CD,$ равный $BC,$ и наконец на отрезке $AB$ откладывают отрезок $AE,$ равный $AD.$ Тогда:

$\mathrm{\Phi }=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|BE|}.$

Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения

• Другой способ построить отрезок, равный по длине числу золотого сечения, — это начертить квадрат ABCD со стороной 1, после этого одну из сторон, например сторону AD, разделить точкой E пополам, так что Шаблон:Nums, далее от точки B или C до точки E провести гипотенузу треугольника АВЕ или DCE. Согласно теореме Пифагора $BE=CE=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Затем провести дугу с центром в точке Е от точки В или точки С до прямой, где лежит сторона AD и точка пересечения где будет называться Н. Стороны BE, СЕ и ЕН равны как радиусы окружности. Так как Шаблон:Nums, то отрезок АН длины $\mathrm{\Phi }$ и будет результатом. Кроме того, поскольку Шаблон:Nums, отрезок DH будет иметь длину $\phi$.

• Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.
• Значения дробной части чисел $\mathrm{\Phi },$ $\frac{1}{\mathrm{\Phi }}$ и ${\mathrm{\Phi }}^2$ одинаковы и равны $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=2{\ln }^2\phi ,$

где $(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$ — биномиальный коэффициент, тогда как $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}=\frac{{\pi }^2}{18}$Шаблон:Нет АИ

• разложение суммы или разности пятых степеней использует золотое сечение:

$a^5\pm b^5=(a\pm b)(a^2\mp \mathrm{\Phi }ab+b^2)(a^2\pm \frac{1}{\mathrm{\Phi }}ab+b^2)$

Золотое сечение в физике, геометрии, химии

Общее сопротивление этой бесконечной цепи равно $\mathrm{\Phi }r$

Золотое число возникает в разных задачах, в том числе в физике. Например, бесконечная электрическая цепь, приведённая на рисунке, имеет общее сопротивление (между двумя левыми концами) $\mathrm{\Phi }\cdot r.$

Отношение амплитуд колебаний и частот ~Ф

Существуют колебательные системы, физические характеристики которых (отношения частот, амплитуд и др.) пропорциональны золотому сечению. Самый простой пример — система из двух шариков равных масс, соединённых последовательно пружинами одинаковой жёсткости (см. рисунок). Более сложные примеры механических колебаний и их обобщений рассматриваются в книге Ковалева А.Н. "В поисках пятого порядка", в главе «Обобщения одной простой задачи по механике». В ней также приведено много примеров проявления и применения золотого сечения в различных областях наук — небесной механике, физике, геофизике, биофизике, физической химии, биологии, Физиологии.

Золотое сечение тесно связано с симметрией пятого порядка, наиболее известными трёхмерными представителями которой являются додекаэдр и икосаэдр. Можно сказать, что всюду, где в структуре проявляются додекаэдр, икосаэдр или их производные, там в описании будет появляться и золотое сечение. Например, в пространственных группировках атомов бора: В-12, В-50, В-78, В-84, В-90, …, В-1708, имеющих икосаэдрическую симметрию. Молекула воды, у которой угол между связями Н-О равен 104,7°, то есть близок к 108 градусам (равен углу в правильном пятиугольнике), может соединяться в плоские и трехмерные структуры с симметрией пятого порядка. Так, в разреженной плазме был обнаружен ион Н⁺(Н₂0)₂₁, который представляет собой ион Н₃0⁺, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. В 80-х годах XX века были получены клатратные соединения, содержащие гексааквакомплекс кальция, окруженный 20 молекулами воды, расположенными в вершинах додекаэдра. Есть и клатратные модели воды, в которых обыкновенная вода отчасти состоит из молекул воды, соединённых в структуры с симметрией пятого порядка. Такие структуры могут состоять из 20, 57, 912 молекул воды.

Золотое сечение и гармония в искусстве

Иллюстрация композиционного значения золотого сечения

В начале XX века первым известным в истории применением золотого сечения в архитектуре считалась пирамида Хеопса, в которой апофема (a) в Ф раз больше половины длины основания (b/2), а высота (h) - в $\sqrt{\mathrm{\Phi }}$. Т.е. (b/2; h; а) образуют треугольник Кеплера. В советской истории архитектуры причины этого выбора в пропорциях Великой пирамиды объяснялись геометрической прогрессией сторон такого треугольника. А. И. Щетников предположил, что выбор треугольника Кеплера, возможно, связан с другим его геометрическим свойством – равенством двух треугольников, возникающих при последовательном проведении высот. начала из прямого угла на гипотенузу, потом с получившейся точки на больший катет. Во второй половине XX века время возможного появления золотого сечения было отодвинуто к строительству пирамиды Снофру, отца Хеопса, в Мейдуме, в которой использован тот же наклон, что и в Великой. В 2021 году, на основании анализа архитектурных данных, было выдвинуто предположение, что пропорция $\sqrt{\mathrm{\Phi }}$ использовалась примерно за сто лет до начала строительства истинных пирамид, во времена фараона Джосера. В 2024 году время и место первого использования золотого сечения в архитектуре было отодвинуто к концу IV тыс. до н. э. — в Месопотамию. Треугольник Кеплера и золотое сечение использовали при строительстве Белого храма в Уруке. Непосредственно золотое сечение использовалось в пропорционировании египетских пирамид в дробном приближении. Так в хорошо сохранившейся пирамиде Сахура, фараона из пятой династии (XXV в. до н. э.), в Абусире — h/b = 8/13.

Некоторые из утверждений в доказательство гипотезы знания древними правила золотого сечения:

• Пропорции храмов, барельефов, взаимного расположения пирамид Гизы, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона близки к золотому сечению или к $\sqrt{\mathrm{\Phi }}$.
• По мнению Ле Корбюзье, в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют золотому сечению. В фасаде древнегреческого храма Парфенона также присутствуют золотые пропорции. В циркуле из древнеримского города Помпеи (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления, и т. д.
• Использование пропорции «золотого сечение» в пропорциях канонов человеческого тела, судя по историческим документамШаблон:Каким, вызывает очень большие сомнения. Начиная с работы Адольфа Цейзинга сформировалась целая система мифов о «золотом сечении».

Один из типов мозаики Пенроуза

Возможные примеры сознательного использования

Начиная с Леонардо да Винчи, многие художники сознательно использовали пропорции «золотого сечения»Шаблон:Нет АИ. Российский зодчий И. В. Жолтовский использовал золотое сечение в своих проектах.

Иоганн Себастьян Бах в своей трёхголосной инвенции E-dur № 6 BWV 792 использовал двухчастную форму, в которой соотношение размеров частей соответствует пропорциям золотого сечения. 1 часть — 17 тактов, 2 часть — 24 такта (небольшие несоответствия выравниваются за счёт ферматы в 34 такте).

Современными примерами применения золотого сечения может служить мозаика Пенроуза и пропорции государственного флага Того. Шаблон:Clear

Золотое сечение в биологии и медицине

Золотое сечение в природе

Живые системы также обладают свойствами, характерными для «золотого сечения». Например: пропорции тел, спиральные структуры (филлотаксис) или параметры биоритмовШаблон:Проверить авторитетность и др.

См. также

• Божественная пропорция
• Диагональный метод
• Золотая спираль
• Золотой прямоугольник
• Пифагорейский пентакл
• Пропорционирование
• Фибоначчиева система счисления
• Правило третей
• Метод золотого сечения
• Сверхзолотое сечение
• Пластическое число
• Золотой угол
• Канон (искусство)
• Модулор
• Числа Фибоначчи
• Обобщение чисел Фибоначчи
• Обобщённое золотое сечение

Литература

на русском языке

• Аракелян Г. Б. Математика и история золотого сечения. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.
• Бендукидзе А. Д. Золотое сечение Шаблон:Wayback «Квант» № 8, 1973.
• Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238[2]c. — (Эврика).
• Власов В. Г. Золотое сечение, или Божественная пропорция // Власов В. Г. Новый энциклопедический словарь изобразительного искусства: В 10 т. — Т.3. — СПб.: Азбука-Классика, 2005. — С. 725—732.
• Власов В. Г. Приемы гармонизации пространства в классической архитектуре // Власов В. Г. Искусство России в пространстве Евразии. — Т.3. Классическое искусствознание и «русский мир». — СПб.: Дмитрий Буланин, 2012. — С. 156—192.
• Мазель Л. А. Опыт исследования золотого сечения в музыкальных построениях в свете общего анализа форм // Музыкальное образование. — 1930. — № 2. — С. 24—33.
• Сабанеев Л. Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения. Опыт позитивного обоснования законов формы // Искусство. — 1925. — № 2. — С. 132—145; 1927. — № 2—3. — С. 32—56.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шмигевский Н. В. Формула совершенства // Страна знаний. — 2010. — № 4. — С. 2—7.

на других языках

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback Русский перевод в

Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

Ссылки

• Белянин В. С., «Владел ли Платон кодом золотой пропорции? Анализ мифа»
• Радзюкевич А. В., К вопросу о научном изучении пропорций в архитектуре и искусстве Шаблон:Wayback.
• Радзюкевич А. В., Критический анализ Адольфа Цейзинга — основоположника гипотезы «золотого сечения». Шаблон:Wayback
• Статья о золотом сечении в изобразительном искусстве, Золотое сечение в изобразительном искусстве
• Шаблон:Cite web
• Функция Фибоначчи Шаблон:Wayback в Wolfram alpha