Спектральная последовательность Гротендика

Спектральная последовательность Гротендика — это спектральная последовательность, которая вычисляет производные функторы композиции функторов $G\circ F$ по производным функторам F и G.

Если $F:𝒜\to ℬ$ и $G:ℬ\to 𝒞$ — аддитивные точные слева функторы между абелевыми категориями, такие, что $F$ переводит инъективные объекты в $G$-ацикличные (то есть те, на которых зануляются функторы $R^{p}G$ при $p>0$) и если в $ℬ$ достаточно много инъективных объектов, то для каждого объекта $A$ категории $𝒜$, имеющего инъективную резольвенту, существует точная последовательность:

$E_2^{pq}=({\mathrm{R}}^{p}G\circ {\mathrm{R}}^{q}F)(A)⟹{\mathrm{R}}^{p+q}(G\circ F)(A).$

Многие спектральные последовательности в алгебраической геометрии являются частными случаями спектральной последовательности Гротендика, например, Шаблон:Нп5.

Примеры

Спектральная последовательность Лере

Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, пусть

$𝒜=𝐀𝐛(X)$ и $ℬ=𝐀𝐛(Y)$ — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и

$𝒞=𝐀𝐛$ — категория абелевых групп.

Для непрерывного отображения

$f:X\to Y$

существует (точный слева) функтор прямого образа

$f_{*}:𝐀𝐛(X)\to 𝐀𝐛(Y)$.

Мы также имеем функторы глобальных сечений

${\mathrm{\Gamma }}_X:𝐀𝐛(X)\to 𝐀𝐛$,

и

${\mathrm{\Gamma }}_Y:𝐀𝐛(Y)\to 𝐀𝐛.$

Тогда так как

${\mathrm{\Gamma }}_Y\circ f_{*}={\mathrm{\Gamma }}_X$

и функторы $f_{*}$ и ${\mathrm{\Gamma }}_Y$ удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый $f^{-1}$, прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:

$H^p(Y,{\mathrm{R}}^q{f}_{*}ℱ)⟹H^{p+q}(X,ℱ)$

для пучка абелевых групп $ℱ$ на $X$, и это в точности спектральная последовательность Лере.

Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством $(X,𝒪)$; например, схемой. Тогда

$E_2^{p,q}={\mathrm{H}}^p(X;ℰx{t}_{𝒪}^q(F,G))\Rightarrow {\mathrm{Ext}}_{𝒪}^{p+q}(F,G).$

Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно,

$R^p\mathrm{\Gamma }(X,-)={\mathrm{H}}^p(X,-)$, $R^q\mathscr{H}o{m}_{𝒪}(F,-)=ℰx{t}_{𝒪}^q(F,-)$ и $R^n\mathrm{\Gamma }(X,\mathscr{H}o{m}_{𝒪}(F,-))={\mathrm{Ext}}_{𝒪}^n(F,-)$.

Более того, $\mathscr{H}o{m}_{𝒪}(F,-)$ переводит инъективные $𝒪$-модули в вялые пучки, которые $\mathrm{\Gamma }(X,-)$-ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Weibel, Charles A. An introduction to homological algebra. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 38. Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4.