Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

Шаблон:Проблемы тысячелетия Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

Шаблон:Main Для трёхмерного вектора скорости жидкости v→(x→,t) и давления p(x→,t) уравнения Навье — Стокса записываются так:

∂v→∂t+(v→⋅∇)v→=−1ρ∇p+νΔv→+f→(x→,t),

где ν>0 — это кинематическая вязкость, ρ — плотность, f→(x→,t) — внешняя сила, ∇ — оператор набла и Δ — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как ∇⋅∇ или ∇2. Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы как:

v→(x→,t)=(v1(x→,t),v2(x→,t),v3(x→,t)),

f→(x→,t)=(f1(x→,t),f2(x→,t),f3(x→,t)), то для каждого значения i=1,2,3 получается соответствующее скалярное уравнение:

∂vi∂t+∑j=13vj∂vi∂xj=−1ρ∂p∂xi+ν∑j=13∂2vi∂xj2+fi(x→,t).

Неизвестными величинами являются скорость v→(x→,t) и давление p(x→,t). Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы — уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

∇⋅v→=0.

Начальные условия к уравнениям Навье — Стокса задаются в виде:

v→(x→,0)=v0→(x→),

где v0→(x→) — заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности ∇⋅v0→=0.

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье — Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве ℝ3 с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе 𝕋3=ℝ3/ℤ3 с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость v0→(x) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса α и любого K>0 существует постоянная Cα,K>0 (зависящая только от α и K) такая, что

|∂αv0→(x)|≤C(1+|x→|)K для всех x∈ℝ3.

Пусть внешняя сила f→(x→,t) — также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

|∂αf→(x→)|≤C(1+|x→|+t)K для всех (x→,t)∈ℝ3×[0,∞).

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при |x→|→∞. Требуется выполнение следующих условий:

  1. v→(x→,t)∈[C∞(ℝ3×[0,∞))]3,p(x→,t)∈C∞(ℝ3×[0,∞))
  2. Существует постоянная E∈(0,∞) такая, что ∫ℝ3|v→(x→,t)|2dx<E для всех t≥0.

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе — что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

  • существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса в ℝ3: для f→(x→,t)≡0 и любого начального условия v0→(x→), удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье — Стокса, то есть вектор скорости v→(x→,t) и поле давления p(x→,t), удовлетворяющее условиям 1 и 2;
  • несуществование или негладкость решений уравнений Навье — Стокса в ℝ3: существуют начальное условие v0→(x→) и внешняя сила f→(x→,t) такие, что не существует решений v→(x→,t) и p(x→,t), удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Попытки решения

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждал, что дал полное решение проблемы[1], проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке[2][3]. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям[4]. В 2014 году была найдена серьёзная ошибка в доказательстве, которую признал автор[5].

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

  1. ↑ Шаблон:Статья: В работе дано решение шестой проблемы тысячелетия: доказаны существование и единственность сильного решения трёхмерной задачи Навье — Стокса с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным
  2. ↑ Шаблон:Cite web
  3. ↑ Шаблон:Cite web
  4. ↑ Шаблон:Cite web
  5. ↑ Шаблон:Cite web
Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Существование_и_гладкость_решений_уравнений_Навье_—_Стокса&oldid=6846