Теорема Банаха об обратном операторе

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор $A$ отображает всё банахово пространство $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ взаимно однозначно, то существует линейный ограниченный оператор $A^{- 1}$ , обратный оператору $A$ , отображающий $E_{1}$ на $E$ .Шаблон:Sfn

Шаблон:Рамка Пусть $E, E_{1}, E_{2}$ — банаховы пространства и $A : E \to E_{1}$ , $B : E \to E_{2}$ — линейные непрерывные операторы, причем $B$ отображает $E$ на всё $E_{2}$ (то есть $Im B = E_{2}$ ). Если при этом

Ker A \supset Ker B,

то существует такой линейный непрерывный оператор $C : E_{2} \to E_{1}$ , что $A = C B$ . Шаблон:Конец рамки

Здесь $Ker A$ — ядро, $Im A$ — образ оператора $A$ . Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:Шаблон:Sfn

\begin{matrix} Ker B & \to & E & \overset{B}{\to} & E_{2} \\ ⋂ & | | & ↓ C \\ Ker A & \to & E & \overset{A}{\to} & E_{1} \end{matrix}