Теорема Вигнера

Теорема Вигнера — теорема квантовой механики. Играет важную роль в математических основах квантовой механики. Она определяет, как физические симметрии (вращениеШаблон:Sfn, перемещение в пространстве, CPT-преобразование) представлены математически в гильбертовом пространстве состояний. Названа в честь Юджина Вигнера, доказавшего её в 1931 г.Шаблон:Sfn

Пространство лучей

Проективное гильбертово пространство $\mathbb{P}H$ комплексного гильбертова пространства $H$ — это множество классов эквивалентности ненулевых векторов $\mathrm{\Psi }\in H$, для отношения эквивалентности $\sim$ на $H$, заданного следующим образом:

$\mathrm{\Psi }\sim \mathrm{\Phi }$ тогда и только тогда, когда $\mathrm{\Psi }=\lambda \mathrm{\Phi }$ для некоторого ненулевого комплексного числа $\lambda$.

Классы эквивалентности $\underset{\_}{\mathrm{\Psi }}$ также называются лучами или проективными лучами.

Формулировка

Предварительные сведения

Преобразование унитарно, если оно биективно и $$⟨U\mathrm{\Psi },U\mathrm{\Phi }⟩=⟨\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }⟩.$$ Преобразование антиунитарно, если $$⟨A\mathrm{\Psi },A\mathrm{\Phi }⟩=⟨\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }{⟩}^{*}=⟨\mathrm{\Phi },\mathrm{\Psi }⟩.$$

Пусть есть унитарное преобразование $U:H\to K$ гильбертовых пространств.

Определим $$\begin{array}{cc}{T}_U:\mathbb{P}H& \to \mathbb{P}K\\ \underset{\_}{\mathrm{\Psi }}& \mapsto \underset{\_}{U\mathrm{\Psi }},\\ \end{array}$$ которое является преобразованием симметрии, поскольку $$T\underset{\_}{\mathrm{\Psi }}\cdot T\underset{\_}{\mathrm{\Phi }}=\frac{|⟨U\mathrm{\Psi },U\mathrm{\Phi }⟩|}{\Vert U\mathrm{\Psi }\Vert \Vert U\mathrm{\Phi }\Vert }=\frac{|⟨\mathrm{\Psi },\mathrm{\Phi }⟩|}{\Vert \mathrm{\Psi }\Vert \Vert \mathrm{\Phi }\Vert }=\underset{\_}{\mathrm{\Psi }}\cdot \underset{\_}{\mathrm{\Phi }}.$$ Таким же образом антиунитарные преобразования $A$ симметрии гильбертова пространства индуцируют преобразование симметрии пространства лучей.

Утверждение теоремы

Теорема Вигнера утверждает, что верно и обратное: Если $H$ и $K$ — гильбертовы пространства, и $T:\mathbb{P}H\to \mathbb{P}K$ — преобразование симметрии, тогда существует унитарное или антиунитарное преобразование $V:H\to K$, которое индуцирует $T$.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Доказательство см.Шаблон:Sfn

Комментарии

В некоторых источниках упоминается другая теорема Вигнера, которая относится к собственным состояниям симметричной квантово-механической системы, и говорит о том, что если гамильтониан инвариантен относительно преобразований какой-то группы, то его собственные функции образуют базис неприводимых представлений этой группы, а кратность вырождения уровня равна размерности представления.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation