Теорема Гильберта о нулях

Теоре́ма Ги́льберта о нуля́х (теорема Гильберта о корнях, во многих языках, в том числе иногда и в русском, часто используют изначальное немецкое название Nullstellensatz, что переводится как «теорема о нулях») — теорема, устанавливающая фундаментальную взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Использование этой взаимосвязи является основой алгебраической геометрии.

Данная теорема связывает понятие алгебраического множества с понятием идеала в кольце многочленов над алгебраически замкнутым полем. Впервые доказана Давидом Гильбертом (Math. Ann. 1893, Bd 42, S. 313—373) и названа в его честь.

Формулировка

Пусть $k$ — произвольное поле (например, поле рациональных чисел), $K$ — алгебраически замкнутое расширение этого поля (например, поле комплексных чисел). Рассмотрим $K[x_1,\dots ,x_n]$ — кольцо многочленов от $n$ переменных с коэффициентами в поле $K$, пусть $I$ — идеал в этом кольце. Алгебраическое множество $\text{V}(I)$, определяемое этим идеалом, состоит из всех точек $x=(x_1,\dots ,x_n)\in K^n$ таких, что $f(x)=0$ для любого $f\in I$. Теорема Гильберта о нулях утверждает, что если некоторый многочлен $p\in k[x_1,\dots ,x_n]$ зануляется на множестве $\text{V}(I)$, то есть если $p(x)=0$ для всех $x\in V(I)$, то существует натуральное число $r$ такое, что $p^r\in I$.

Немедленным следствием является следующая «слабая форма теоремы Гильберта о нулях»: если $I$ является собственным идеалом в кольце $K[x_1,\dots ,x_n]$, то $\text{V}(I)$ не может быть пустым множеством, то есть существует общий нуль для всех многочленов данного идеала (действительно, в противном случае многочлен $p(x)=1$ имеет корни всюду на $\text{V}(I)$, следовательно, его степень принадлежит $I$). Это обстоятельство и дало имя теореме. Общий случай может быть выведен из «слабой формы» при помощи так называемого трюка Рабиновича. Предположение о том, что поле $K$ является алгебраически замкнутым, существенно: элементы собственного идеала $(x^2+1)$ в $ℝ[x]$ не имеют общего нуля.

Используя стандартную терминологию коммутативной алгебры, теорему Гильберта о нулях можно сформулировать так: для каждого идеала $J$ справедлива формула

$\text{I}(\text{V}(J))=\sqrt{J}$

где $\sqrt{J}$ — радикал идеала $J$, а $\text{I}(U)$ — идеал, состоящий из всех многочленов, равных нулю на множестве $U$.

Из этого следует, что операции $\text{I}$ и $\text{V}$ задают биективное, обращающее порядок по включению соответствие между алгебраическими множествами в $K^n$ и радикальными идеалами в $K[x_1,\dots ,x_n]$.

Проективная версия Nullstellensatz

Существует также соответствие между однородными идеалами в кольце многочленов и алгебраическими множествами в проективном пространстве, называемое проективной Nullstellensatz. Пусть $R=K[x_1,\dots ,x_n]$, $R_d$ — множество однородных многочленов степени $d$. Тогда

$R_{+}=\underset{d\ge 1}{⨁}{R}_d$

называется максимальным однородным идеалом. Как и в аффинном случае, введём обозначения: для подмножества $S\subseteq {\mathbb{P}}^n$ и однородного идеала $I$ пусть

$\begin{array}{cc}{\mathrm{I}}_{{\mathbb{P}}^n}(S)& =\{f\in R_{+}|f(x)=0\mathrm{\forall }x\in S\},\\ {\mathrm{V}}_{{\mathbb{P}}^n}(I)& =\{x\in {\mathbb{P}}^n|f(x)=0\mathrm{\forall }f\in I\}.\end{array}$

Напомним, что $f$ не является функцией на проективном пространстве, однако из однородности этого многочлена следует, что множество точек с однородными координатами $x$, в которых $f(x)=0$, определено корректно. Теперь, для произвольного однородного идеала $I\in R_{+}$ верно

$\sqrt{I}={\mathrm{I}}_{{\mathbb{P}}^n}({\mathrm{V}}_{{\mathbb{P}}^n}(I)).$

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М: Мир, 1972
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1976.
• Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 1999. ISBN 5-900916-32-4.
• Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1970
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1968