Теорема Шура — Зассенхауса

Теорема Шура — Зассенхауса — это теорема теории групп, которая утверждает, что если G является конечной группой, а N является нормальной подгруппой, порядок которой взаимно прост с порядком факторгруппы G/N, то G является полупрямым произведением (или расщепляемым расширением) подгруппы N и факторгруппы G/N.

Альтернативная формулировка теоремы. Любая нормальная Шаблон:Не переведено 5 N конечной группы G имеет Шаблон:Не переведено 5 в группе G. Более того, если либо N, либо G/N разрешима, то теорема Шура — Зассенхауса также утверждает, что все дополнения N в G сопряжены. Предположение, что либо N, либо G/N разрешима, может быть опущено, так как оно выполняется всегда, но все известные доказательства этого требуют применения куда более сложной теоремы Фейта — Томпсона.

Теорема Шура — Зассенхауса, по меньшей мере частично, отвечает на вопрос: «В Шаблон:Не переведено 5 как мы можем классифицировать группы с определённым множеством композиционных факторов?» Другая часть, в которой композиционные факторы не имеют взаимно простого порядка, разбирается в теории расширений групп.

История

Теорему Шура — Зассенхауса выдвинул Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn. Теорема 25, которую он приписывает Исаю Шуру, доказывает существование дополнения подгруппы, а теорема 27 доказывает, что все дополнения смежны при предположении, что N или G/N разрешима. Нелегко найти явное утверждение существования дополнения в опубликованных работах Шура, хотя из результатов ШураШаблон:SfnШаблон:Sfn о мультипликаторах Шура вытекает существование дополнения в специальном случае, когда нормальная подгруппа является центром. Зассенхаус указал на то, что теорема Шура — Зассенхауса для неразрешимых групп была бы верна, если бы все группы нечётного порядка были разрешимы, что позднее доказали Фейт и Томпсон. Эрнст Витт показал, что это следовало бы также из Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn, но гипотеза Шрайера была доказана с использованием классификации конечных простых групп, которая существенно сложнее теоремы Фейт-Томпсона.

Примеры

Если мы не накладываем условие взаимной простоты, теорема становится неверной. Рассмотрим, например, циклическую группу $C_4$ и её нормальную подгруппу $C_2$. Тогда, если бы $C_4/C_2$ была полупрямым произведением $C_2$ и $C_4/C_2\cong C_2$, то $C_4$ должна была бы содержать два элемента порядка 2, но она содержит только один элемент. Другой способ показать невозможность расщепления $C_4$ (то есть выражения группы в виде полупрямого произведения), это наблюдение, что автоморфизмы группы $C_2$ являются тривиальной группой, так что единственно возможное [полу]прямое произведение группы $C_2$ на себя, это прямое произведение (которое даёт четверную группу Клейна, группу, которая не изоморфна $C_4$).

Пример случая, когда теорема Шура — Зассенхауса применима, это симметрическая группа из 3 символов, $S_3$, которая имеет нормальную подгруппу порядка 3 (изоморфную $C_3$), которая, в свою очередь, имеет индекс 2 в $S_3$ (что согласуется с теоремой Лагранжа), так что $S_3/C_3\cong C_2$. Поскольку 2 и 3 взаимно просты, теорема Шура — Зассенхауса применима и $S_3\cong C_3⋊C_2$. Заметим, что группа автоморфизмов группы $C_3$ равна $C_2$ и автоморфизм группы $C_3$, используемый в полупрямом произведении, которое даёт $S_3$, является нетривиальным автоморфизмом, который переставляет два неединичных элемента группы $C_3$. Более того, три подгруппы порядка 2 в $S_3$ (любая из которых может выступать как дополнение $C_3$ в $S_3$) смежны.

Вывод о нетривиальности (дополнительной) смежности можно проиллюстрировать на четверной группе Клейна $V$ как ложный пример. Любая из трёх собственных подгрупп группы $V$ (все имеют порядок 2) нормальна в $V$. Фиксируя одну из этих подгрупп, любая из двух оставшихся (собственных) подгрупп дополняют её в $V$, но ни одна из этих трёх подгрупп группы $V$ не смежна другой, поскольку группа $V$ абелева.

Группа кватернионов имеет нормальные подгруппы порядка 4 и 2, но не является [полу]прямым произведением. Статьи Шура в начале 20-го века ввели понятие центрального расширения для примеров, таких как $C_4$ и кватернионов.

Доказательство

Существование дополнения нормальной подгруппы Холла H конечной группы G может быть доказано следующими шагами:

1. По индукции по порядку группы G мы можем предположить, что это верно для всех групп меньшего размера.
2. Если подгруппа H абелева, то существование дополнения следует из факта, что группа когомологий H²(G/H,H) исчезает (так как H и G/H имеют взаимно простые порядки) и факта, что смежность всех дополнений следует из исчезновения H¹(G/H,H).
3. Если подгруппа H разрешима, она имеет нетривиальную абелеву подгруппу A, которая является характеристикой в H, а потому нормальной в G. Применение Шура — Зассенхауса к G/A сокращает доказательство случая, когда H=A абелева, что сделано на предыдущем шаге.
4. Если нормализатор N=N_G(P) любой p-силовской подгруппы P подгруппы H равен G, то H нильпотентна, и, в частности, разрешима, так что теорема вытекает из предыдущего шага.
5. Если нормализатор N=N_G(P) некоторой p-силовской подгруппы P подгруппы H меньше, чем G, то по индукции теорема Шура — Зассенхауса выполняется для N и дополнение N∩H в N является дополнением для H в G, поскольку G=NH.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга Перевод на английский