Теория Кирхгофа — Лява

Деформация тонкой пластины с выделенным смещением срединной поверхности (красный) и нормали к срединной поверхности (синий)

Теория Кирхгофа — Лява или теория пластин Кирхгофа — Лява — двумерная математическая модель упругого тела, которая используется для определения напряжений и деформаций в тонких пластинах, подверженных действию сил и моментов при малых изгибах. Эта теория является расширением теории балок Эйлера — Бернулли и была разработана в 1888 году Лявом с использованием постулатов, предложенных Кирхгофом. Теория предполагает, что срединная плоскость может использоваться для представления трёхмерной пластины в двухмерной форме.

В этой теории сделаны следующие кинематические допущения:

• прямые линии, перпендикулярные срединной поверхности, остаются прямыми после деформации;
• прямые линии, перпендикулярные средней поверхности, остаются нормальными к срединной поверхности после деформации;
• и толщина пластины не изменяется при деформации.

Предполагаемые перемещения/смещения

Пусть вектор положения точки недеформированной пластины равен $𝐱$. Тогда его можно разложить

$𝐱=x_1{𝒆}_1+x_2{𝒆}_2+x_3{𝒆}_3\equiv x_i{𝒆}_i.$

Векторы ${𝒆}_i$ образуют базис декартовой системы координат с началом взятым на срединной поверхности пластины, $x_1$ а также $x_2$ — декартовы координаты на срединной поверхности недеформированной пластины, а $x_3$ — координата направленная вдоль толщины.

Пусть смещение точки на пластине равно $𝐮(𝐱)$. Тогда

$𝐮=u_1{𝒆}_1+u_2{𝒆}_2+u_3{𝒆}_3\equiv u_i{𝒆}_i$

Это смещение можно разложить на векторную сумму смещения срединной поверхности $u_{\alpha }^0$ и смещение вне плоскости $w^0$ в направлении $x_3$. Мы можем записать смещение срединной поверхности в плоскости как

${𝐮}^0=u_1^0{𝒆}_1+u_2^0{𝒆}_2\equiv u_{\alpha }^0{𝒆}_{\alpha }$

Обратите внимание, что индекс $\alpha$ пробегает значения 1 и 2, но не 3.

Тогда из гипотезы Кирхгофа следует, что

$\begin{array}{cc}{u}_{\alpha }(𝐱)& =u_{\alpha }^0(x_1,x_2)-x_3\frac{\partial w^0}{\partial x_{\alpha }}\equiv u_{\alpha }^0-x_3{w}_{,\alpha }^0;\alpha =1,2\\ u_3(𝐱)& =w^0(x_1,x_2)\end{array}$

Если ${\phi }_{\alpha }$ — углы поворота нормали к срединной поверхности, то в теории Кирхгофа — Лява

${\phi }_{\alpha }=w_{,\alpha }^0$

Обратите внимание, что выражение для $u_{\alpha }$ представимо как разложение в ряд Тейлора первого порядка для смещения вокруг срединной поверхности.

Смещение срединной поверхности (слева) и нормали к ней (справа)

Квазистатические пластины Кирхгофа — Лява

Первоначальная теория, разработанная Лавом, применялась для бесконечно малых деформаций и вращений. Фон Карман расширил эту теорию на ситуации, в которых можно было ожидать умеренных вращений.

Соотношения деформация-смещение

Когда деформации в пластине бесконечно малы и повороты нормалей средней поверхности меньше 10° соотношения деформация-смещение (то есть используется разложение до первого порядка малости) принимают вид

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial x_{\beta }}+\frac{\partial u_{\beta }}{\partial x_{\alpha }})\equiv \frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =\frac{1}{2}(\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial x_3}+\frac{\partial u_3}{\partial x_{\alpha }})\equiv \frac{1}{2}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\ {\epsilon }_{33}& =\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\equiv u_{3,3}\end{array}$

где $\beta =1,2$ как и $\alpha$ .

Используя кинематические предположения, получим

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0)-x_3{w}_{,\alpha \beta }^0\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =-w_{,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0=0\\ {\epsilon }_{33}& =0\end{array}$

Следовательно, ненулевые деформации возникают только в плоскостях.

Уравнения равновесия

Уравнения равновесия пластины выводятся из принципа виртуальной работы. Для тонкой пластины при квазистатической поперечной нагрузке $q(x)$ эти уравнения имеют вид

$\begin{array}{cc}& \frac{\partial N_{11}}{\partial x_1}+\frac{\partial N_{21}}{\partial x_2}=0\\ & \frac{\partial N_{12}}{\partial x_1}+\frac{\partial N_{22}}{\partial x_2}=0\\ & \frac{{\partial }^2{M}_{11}}{\partial x_1^2}+2\frac{{\partial }^2{M}_{12}}{\partial x_1\partial x_2}+\frac{{\partial }^2{M}_{22}}{\partial x_2^2}=q\end{array}$

где толщина пластины $2h$. В индексной записи

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0N_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q& =0M_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3\end{array}$

где ${\sigma }_{\alpha \beta }$ — механические напряжения.

Изгибающие моменты и нормальные напряжения

Моменты и напряжения сдвига

Bending moments and normal stresses

Torques and shear stresses

Вывод уравнения равновесия для малых вращений

Для ситуации, когда напряжения и вращения пластины малы, вариация внутренняя энергия записывается в виде $\begin{array}{cc}\delta U& =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\mathit{\sigma }:\delta \mathit{ϵ}d{x}_{3}d\mathrm{\Omega }=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }\delta {\epsilon }_{\alpha \beta }d{x}_{3}d\mathrm{\Omega }\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}[\frac{1}{2}{\sigma }_{\alpha \beta }(\delta u_{\alpha ,\beta }^0+\delta u_{\beta ,\alpha }^0)-x_3{\sigma }_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha \beta }^0]d{x}_{3}d\mathrm{\Omega }\\ & =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[\frac{1}{2}{N}_{\alpha \beta }(\delta u_{\alpha ,\beta }^0+\delta u_{\beta ,\alpha }^0)-M_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha \beta }^0]d\mathrm{\Omega }\end{array}$ где толщина пластины $2h$ и усилия и моменты определяются как $N_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3;M_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3{\sigma }_{\alpha \beta }d{x}_3$ Интегрирование по частям приводит к $\begin{array}{cc}\delta U& =\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[-\frac{1}{2}(N_{\alpha \beta ,\beta }\delta u_{\alpha }^0+N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0)+M_{\alpha \beta ,\beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Omega }\\ & +\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[\frac{1}{2}(n_{\beta }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\alpha }^0+n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0)-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Gamma }\end{array}$ Симметрия тентора напряжений подразумевает, что $N_{\alpha \beta }=N_{\beta \alpha }$. Отсюда $\delta U=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[-N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0+M_{\alpha \beta ,\beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Omega }+\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Gamma }$ Проинтегрируем по частям ещё раз $\delta U=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[-N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0-M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }\delta w^0]d\mathrm{\Omega }+\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0+n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }\delta w^0-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]d\mathrm{\Gamma }$ В случае, отсутствия внешних сил, принцип виртуальной работы подразумевает, что вариация $\delta U=0$. Уравнения равновесия для пластины задаются $\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }& =0\end{array}$ Если пластина испытывает внешнюю распределенную нагрузку $q(x)$, которая направлена по нормали к срединной плоскости и напрвлена вдоль направления $x_3$, то внешняя виртуальная работа из-за нагрузки $\delta V_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }q\delta w^{0}d\mathrm{\Omega }$ Принцип виртуальной работы приводит к уравнениям равновесия $\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q& =0\end{array}$

Граничные условия

Граничные условия, необходимые для решения уравнений равновесия в теории пластин, можно получить из граничных условий используемых в принципе виртуальной работы. В отсутствие внешних сил на границе граничные условия имеют вид

$\begin{array}{cc}{n}_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{u}_{\beta }^0\\ n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}^0\\ n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }& \mathrm{o}\mathrm{r}{w}_{,\alpha }^0\end{array}$

Обратите внимание, что $n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }$ — это эффективная сила сдвига.

Материальные соотношения

Соотношения между напряжениями и деформациями для линейной упругой среды имеют вид

$\begin{array}{cc}{\sigma }_{\alpha \beta }& =C_{\alpha \beta \gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\\ {\sigma }_{\alpha 3}& =C_{\alpha 3\gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\\ {\sigma }_{33}& =C_{33\gamma \theta }{\epsilon }_{\gamma \theta }\end{array}$

поскольку ${\sigma }_{\alpha 3}$, а также ${\sigma }_{33}$ не фигурируют в уравнениях равновесия, то неявно предполагается, что эти величины не влияют на баланс импульса и ими можно пренебречь. Остальные соотношения напряжение-деформация в матричной имеют вид

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]$

Тогда

$\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]d{x}_3=\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ u_{2,2}^0\\ \frac{1}{2}(u_{1,2}^0+u_{2,1}^0)\end{array}\right]$

и

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]d{x}_3=-\left\{\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\left[\begin{array}{ccc}{C}_{11}& C_{12}& C_{13}\\ C_{12}& C_{22}& C_{23}\\ C_{13}& C_{23}& C_{33}\end{array}\right]d{x}_3\right\}\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right]$

Жесткости — это величины

$A_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Изгибные жесткости (также называемая жесткостью на изгиб) — это величины

$D_{\alpha \beta }:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2{C}_{\alpha \beta }d{x}_3$

Основные предположения Кирхгофа — Лява приводят к нулевым поперечным силам. Тогда для определения поперечных сил в тонких пластинах Кирхгофа — Лява должны использоваться уравнения равновесия пластины. Для изотропных пластин эти уравнения приводят к выражению

$Q_{\alpha }=-D\frac{\partial }{\partial x_{\alpha }}({\mathrm{\nabla }}^2{w}^0).$

В качестве альтернативы эти поперечные силы можно записать как

$Q_{\alpha }={ℳ}_{,\alpha }$

где

$ℳ:=-D{\mathrm{\nabla }}^2{w}^0.$

Малые деформации и умеренные вращения

Если повороты нормалей к срединной поверхности находятся в диапазоне от 10${\circ }^{}$ до 15${\circ }^{}$, то зависимости деформации от смещения можно аппроксимировать как

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha }+u_{3,\alpha }{u}_{3,\beta })\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,3}+u_{3,\alpha })\\ {\epsilon }_{33}& =u_{3,3}\end{array}$

Тогда кинематические допущения теории Кирхгофа — Лява приводят к классической теории пластин с деформациями фон Кармана.

$\begin{array}{cc}{\epsilon }_{\alpha \beta }& =\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }^0+u_{\beta ,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0{w}_{,\beta }^0)-x_3{w}_{,\alpha \beta }^0\\ {\epsilon }_{\alpha 3}& =-w_{,\alpha }^0+w_{,\alpha }^0=0\\ {\epsilon }_{33}& =0\end{array}$

Эта теория нелинейна из-за квадратичных членов в соотношениях деформация-перемещение.

Если соотношения деформация-перемещение принимают форму фон Кармана, то уравнения равновесия перепишутся в виде

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }{w}_{,\beta }^0{]}_{,\alpha }-q& =0\end{array}$

Изотропные квазистатические пластинки Кирхгофа — Лява

В матричной форме, для изотропной и однородной пластины зависимости напряжения от деформации имеют вид

$\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right].$

где $\nu$ — коэффициент Пуассона и $E$ модуль Юнга . Моменты, соответствующие этим напряжениям примут вид

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right]$

или в развернутом виде

$\begin{array}{cc}{M}_{11}& =-D(\frac{{\partial }^2{w}^0}{\partial x_1^2}+\nu \frac{{\partial }^2{w}^0}{\partial x_2^2})\\ M_{22}& =-D(\frac{{\partial }^2{w}^0}{\partial x_2^2}+\nu \frac{{\partial }^2{w}^0}{\partial x_1^2})\\ M_{12}& =-D(1-\nu )\frac{{\partial }^2{w}^0}{\partial x_1\partial x_2}\end{array}$

где $D=2h^{3}E/[3(1-{\nu }^2)]=H^{3}E/[12(1-{\nu }^2)]$ для пластин толщиной $H=2h$. Используя соотношения напряжения-деформации для пластин, можно показать, что напряжения и моменты связаны соотношениями

${\sigma }_{11}=\frac{3x_3}{2h^3}{M}_{11}=\frac{12x_3}{H^3}{M}_{11}\text{and}{\sigma }_{22}=\frac{3x_3}{2h^3}{M}_{22}=\frac{12x_3}{H^3}{M}_{22}.$

В верхней поверхности пластины, где $x_3=h=H/2$, напряжения

${\sigma }_{11}=\frac{3}{2h^2}{M}_{11}=\frac{6}{H^2}{M}_{11}\text{and}{\sigma }_{22}=\frac{3}{2h^2}{M}_{22}=\frac{6}{H^2}{M}_{22}.$

Чистый изгиб

Для изотропной и однородной пластины при чистом изгибе основные уравнения сводятся к (нет внешних сил)

$\frac{{\partial }^4{w}^0}{\partial x_1^4}+2\frac{{\partial }^4{w}^0}{\partial x_1^2\partial x_2^2}+\frac{{\partial }^4{w}^0}{\partial x_2^4}=0.$

Здесь мы предположили, что смещения в плоскости не зависят от $x_1$ и $x_2$. В индексной записи

$w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=0$

и в прямой записи

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=0$

которое известно как бигармоническое уравнение. Изгибающие моменты определяются выражением

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right]$

Вывод уравнений равновесия для чистого изгиба

Для изотропных, однородных пластин под действием чистого изгиба основные уравнения $\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\alpha }& =0⟹N_{11,1}+N_{21,2}=0,N_{12,1}+N_{22,2}=0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }& =0⟹M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=0\end{array}$ и соотношения напряжения-деформации $\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right]$ Тогда $\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\frac{2hE}{(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ u_{2,2}^0\\ \frac{1}{2}(u_{1,2}^0+u_{2,1}^0)\end{array}\right]$ и $\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ w_{,22}^0\\ w_{,12}^0\end{array}\right]$ Дифференцирование приводит к $\begin{array}{cc}{N}_{11,1}& =\frac{2hE}{(1-{\nu }^2)}(u_{1,11}^0+\nu u_{2,21}^0);N_{22,2}=\frac{2hE}{(1-{\nu }^2)}(\nu u_{1,12}^0+u_{2,22}^0)\\ N_{12,1}& =\frac{hE(1-\nu )}{(1-{\nu }^2)}(u_{1,21}^0+u_{2,11}^0);N_{12,2}=\frac{hE(1-\nu )}{(1-{\nu }^2)}(u_{1,22}^0+u_{2,12}^0)\end{array}$ и $\begin{array}{cc}{M}_{11,11}& =-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}(w_{,1111}^0+\nu w_{,2211}^0)\\ M_{22,22}& =-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}(\nu w_{,1122}^0+w_{,2222}^0)\\ M_{12,12}& =-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}(1-\nu )w_{,1212}^0\end{array}$ Подставим результат в основные уравнение, получим $\begin{array}{cc}& u_{1,11}^0+\nu u_{2,21}^0+\frac{1}{2}(1-\nu )(u_{1,22}^0+u_{2,12}^0)=0\\ & \nu u_{1,12}^0+u_{2,22}^0+\frac{1}{2}(1-\nu )(u_{1,21}^0+u_{2,11}^0)=0\\ & w_{,1111}^0+\nu w_{,2211}^0+2(1-\nu )w_{,1212}^0+\nu w_{,1122}^0+w_{,2222}^0=0\end{array}$ Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то $u_{1,12}^0=u_{1,21}^0$, $u_{2,21}^0=u_{2,12}^0$, и$w_{,2211}^0=w_{,1212}^0=w_{,1122}^0$. Отсюда $\begin{array}{cc}& u_{1,11}^0+\frac{1}{2}(1-\nu )u_{1,22}^0+\frac{1}{2}(1+\nu )u_{2,12}^0=0\\ & u_{2,22}^0+\frac{1}{2}(1-\nu )u_{2,11}^0+\frac{1}{2}(1+\nu )u_{1,12}^0=0\\ & w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=0\end{array}$ В прямой тензорной нотации, основное уравнение для пластины ${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=0$ где мы предположили, что перемещения $u_1^0,u_2^0$ постоянны.

Изгиб под действием поперечной нагрузки

Если распределенная поперечная нагрузка $-q(x)$ применяется к пластине, то определяющее уравнение $M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=-q$ . Следуя процедуре, из предыдущего раздела, получаем

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=\frac{q}{D};D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}$

В прямоугольных декартовых координатах основное уравнение примет вид

$w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0=-\frac{q}{D}$

а в цилиндрических координатах принимает вид (для круглой пластинки с аксиально-симметричной нагрузкой)

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left[r\frac{d}{dr}\left\{\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right)\right\}\right]=-\frac{q}{D}.$

Решения этого уравнения для различных геометрий и граничных условий можно найти в статье об изгибе пластин.

Вывод уравнений равновесия для поперечной нагрузки

Для поперечно нагруженной пластины без аксиальных деформаций, основное уравнение примет вид $M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }=q⟹M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}=q$ где $q$ распределенная поперечная нагрузка (на единицу площади). Замена выражений на производные $M_{\alpha \beta }$ в основном уравнении приводит к $-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}[w_{,1111}^0+2w_{,1212}^0+w_{,2222}^0]=q.$ Используя для изгибной жёсткости выражение $D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}$ запишем основное уравнение в виде ${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-\frac{q}{D}.$ В цилиндрических координатах $(r,\theta ,z)$, ${\mathrm{\nabla }}^{2}w\equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial w}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}w}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}w}{\partial z^2}.$ Для аксиально-симметричной нагрузки и круглых пластин, $w=w(r)$, тогда ${\mathrm{\nabla }}^{2}w\equiv \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\left(r\frac{dw}{dr}\right).$

Цилиндрический изгиб

При определённых условиях нагружения плоская пластина может изгибаться, принимая форму поверхности цилиндра. Этот тип изгиба называется цилиндрическим изгибом и представляет собой особую ситуацию, когда $u_1=u_1(x_1),u_2=0,w=w(x_1)$. В таком случае

$\left[\begin{array}{c}{N}_{11}\\ N_{22}\\ N_{12}\end{array}\right]=\frac{2hE}{(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{u}_{1,1}^0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

а также

$\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}^0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

и определяющие уравнения становятся к

$\begin{array}{cc}{N}_{11}& =A\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}{x}_1}⟹\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}_1^2}=0\\ M_{11}& =-D\frac{{\mathrm{d}}^{2}w}{\mathrm{d}{x}_1^2}⟹\frac{{\mathrm{d}}^{4}w}{\mathrm{d}{x}_1^4}=\frac{q}{D}\\ \end{array}$

Динамика пластин Кирхгофа — Лява

Динамическая теория тонких пластин ставит задачу о распространении упругих волн в пластинах, а также изучает стоячие волны и режимы колебаний.

Основные уравнения

Основные уравнения динамики пластины Кирхгофа — Лява:

$\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\beta }& =J_1{\ddot{u}}_{\alpha }^0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+q(x,t)& =J_1{\ddot{w}}^0-J_3{\ddot{w}}_{,\alpha \alpha }^0\end{array}$

где для пластины с плотностью $\rho =\rho (x)$ ,

$J_1:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\rho d{x}_3=2\rho h;J_3:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\rho d{x}_3=\frac{2}{3}\rho h^3$

а также

${\dot{u}}_i=\frac{\partial u_i}{\partial t};{\ddot{u}}_i=\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial t^2};u_{i,\alpha }=\frac{\partial u_i}{\partial x_{\alpha }};u_{i,\alpha \beta }=\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}$

Вывод уравнений, регулирующих динамику пластин Кирхгофа — Лява

Полная кинетическая энергия пластины $K=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\frac{\rho }{2}[{\left(\frac{\partial u_1}{\partial t}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_2}{\partial t}\right)}^2+{\left(\frac{\partial u_3}{\partial t}\right)}^2]\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t$ Таким образом, вариация кинетической энергии $\delta K=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\frac{\rho }{2}[2\left(\frac{\partial u_1}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \delta u_1}{\partial t}\right)+2\left(\frac{\partial u_2}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \delta u_2}{\partial t}\right)+2\left(\frac{\partial u_3}{\partial t}\right)\left(\frac{\partial \delta u_3}{\partial t}\right)]\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t$ Тут мы используем следующую нотацию ${\dot{u}}_i=\frac{\partial u_i}{\partial t};{\ddot{u}}_i=\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial t^2};u_{i,\alpha }=\frac{\partial u_i}{\partial x_{\alpha }};u_{i,\alpha \beta }=\frac{{\partial }^2{u}_i}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}$ Тогда $\delta K=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\rho ({\dot{u}}_{\alpha }\delta {\dot{u}}_{\alpha }+{\dot{u}}_3\delta {\dot{u}}_3)\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t$ Для пластин Кирхгофа — Лява $u_{\alpha }=u_{\alpha }^0-x_3{w}_{,\alpha }^0;u_3=w^0$ Отсюда $\begin{array}{cc}\delta K& =\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\rho [({\dot{u}}_{\alpha }^0-x_3{\dot{w}}_{,\alpha }^0)(\delta {\dot{u}}_{\alpha }^0-x_3\delta {\dot{w}}_{,\alpha }^0)+{\dot{w}}^0\delta {\dot{w}}^0]\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t\\ & =\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\rho ({\dot{u}}_{\alpha }^0\delta {\dot{u}}_{\alpha }^0-x_3{\dot{w}}_{,\alpha }^0\delta {\dot{u}}_{\alpha }^0-x_3{\dot{u}}_{\alpha }^0\delta {\dot{w}}_{,\alpha }^0+x_3^2{\dot{w}}_{,\alpha }^0\delta {\dot{w}}_{,\alpha }^0+{\dot{w}}^0\delta {\dot{w}}^0)\mathrm{d}{x}_3\mathrm{d}A\mathrm{d}t\end{array}$ Определим для постоянной по толщине $\rho$ $J_1:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}\rho d{x}_3=2\rho h;J_2:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3\rho d{x}_3=0;J_3:=\underset{-h}{\overset{h}{\int }}{x}_3^2\rho d{x}_3=\frac{2}{3}\rho h^3$ Тогда $\delta K=\underset{0}{\overset{T}{\int }}\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[J_1({\dot{u}}_{\alpha }^0\delta {\dot{u}}_{\alpha }^0+{\dot{w}}^0\delta {\dot{w}}^0)+J_3{\dot{w}}_{,\alpha }^0\delta {\dot{w}}_{,\alpha }^0]\mathrm{d}A\mathrm{d}t$ Интегрирование по частям даёт $\delta K=\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[\underset{0}{\overset{T}{\int }}\{-J_1({\ddot{u}}_{\alpha }^0\delta u_{\alpha }^0+{\ddot{w}}^0\delta w^0)-J_3{\ddot{w}}_{,\alpha }^0\delta w_{,\alpha }^0\}\mathrm{d}t+{|J_1({\dot{u}}_{\alpha }^0\delta u_{\alpha }^0+{\dot{w}}^0\delta w^0)+J_3{\dot{w}}_{,\alpha }^0\delta w_{,\alpha }^0|}_0^T]\mathrm{d}A$ Вариации $\delta u_{\alpha }^0$ и $\delta w^0$ равны нулю при $t=0$ и $t=T$. Таким образом, после перемены последовательности интегрирования $\delta K=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[J_1({\ddot{u}}_{\alpha }^0\delta u_{\alpha }^0+{\ddot{w}}^0\delta w^0)+J_3{\ddot{w}}_{,\alpha }^0\delta w_{,\alpha }^0]\mathrm{d}A\right\}\mathrm{d}t+{\left|\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }{J}_3{\dot{w}}_{,\alpha }^0\delta w_{,\alpha }^0\mathrm{d}A\right|}_0^T$ Интеграция по частям в срединной поверхности даёт $\begin{array}{cc}\delta K& =-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[J_1({\ddot{u}}_{\alpha }^0\delta u_{\alpha }^0+{\ddot{w}}^0\delta w^0)-J_3{\ddot{w}}_{,\alpha \alpha }^0\delta w^0]\mathrm{d}A+\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }{J}_3{n}_{\alpha }{\ddot{w}}_{,\alpha }^0\delta w^0\mathrm{d}s\}\mathrm{d}t\\ & -{|\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }{J}_3{\dot{w}}_{,\alpha \alpha }^0\delta w^0\mathrm{d}A-\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }{J}_3{\dot{w}}_{,\alpha }^0\delta w^0\mathrm{d}s|}_0^T\end{array}$ Опять же, поскольку вариации остаются нулевыми в начале и в конце промежутка времени, то $\delta K=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[J_1({\ddot{u}}_{\alpha }^0\delta u_{\alpha }^0+{\ddot{w}}^0\delta w^0)-J_3{\ddot{w}}_{,\alpha \alpha }^0\delta w^0]\mathrm{d}A+\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }{J}_3{n}_{\alpha }{\ddot{w}}_{,\alpha }^0\delta w^0\mathrm{d}s\}\mathrm{d}t$ Для динамического случая вариация внутренней энергии $\delta U=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }\delta w^0]\mathrm{d}A-\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0+n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }\delta w^0-n_{\beta }{M}_{\alpha \beta }\delta w_{,\alpha }^0]\mathrm{d}s\}\mathrm{d}t$ Интеграция по частям и предположение о нулевой вариации на границе срединной поверхности дает $\delta U=-\underset{0}{\overset{T}{\int }}\{\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }[N_{\alpha \beta ,\alpha }\delta u_{\beta }^0+M_{\alpha \beta ,\beta \alpha }\delta w^0]\mathrm{d}A-\underset{{\mathrm{\Gamma }}^0}{\int }[n_{\alpha }{N}_{\alpha \beta }\delta u_{\beta }^0+n_{\alpha }{M}_{\alpha \beta ,\beta }\delta w^0+n_{\beta }{M}_{\alpha \beta ,\alpha }\delta w^0]\mathrm{d}s\}\mathrm{d}t$ Если имеется внешняя распределенная сила $q(x,t)$ действуя по нормали к поверхности пластины, то виртуальная внешняя работа $\delta V_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\underset{0}{\overset{T}{\int }}[\underset{{\mathrm{\Omega }}^0}{\int }q(x,t)\delta w^0\mathrm{d}A]\mathrm{d}t$ Из принципа виртуальной работы $\delta U+\delta V_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\delta K$. Таким образом, основные уравнения баланса для пластины $\begin{array}{cc}{N}_{\alpha \beta ,\beta }& =J_1{\ddot{u}}_{\alpha }^0\\ M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)& =J_1{\ddot{w}}^0-J_3{\ddot{w}}_{,\alpha \alpha }^0\end{array}$

Решения этих уравнений для некоторых частных случаев можно найти в статье о колебаниях пластин. На рисунках ниже показаны некоторые колебательные моды для круглой пластины защемлённой по контуру.

• 
  режим k = 0, p = 1
• 
  режим k = 0, p = 2
• 
  режим k = 1, p = 2

Изотропные пластины

Основные уравнения значительно упрощаются для изотропных и однородных пластин, для которых деформациями в срединной плоскости можно пренебречь. В этом случае остается одно уравнение следующего вида (в прямоугольных декартовых координатах):

$D(\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^4}+2\frac{{\partial }^{4}w}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{{\partial }^{4}w}{\partial y^4})=-q(x,y,t)-2\rho h\frac{{\partial }^{2}w}{\partial t^2}.$

где $D$ — изгибная жесткость. Для однородной плиты толщиной $2h$ ,

$D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}.$

В прямой записи

$D{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\ddot{w}.$

Для свободных колебаний основное уравнение принимает вид

$D{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-2\rho h\ddot{w}.$

Вывод динамических уравнений для изотропных пластин Кирхгофа — Лява

Для изотропной и однородной пластины, соотношения напряжения-деформации $\left[\begin{array}{c}{\sigma }_{11}\\ {\sigma }_{22}\\ {\sigma }_{12}\end{array}\right]=\frac{E}{1-{\nu }^2}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\epsilon }_{11}\\ {\epsilon }_{22}\\ {\epsilon }_{12}\end{array}\right].$ где ${\epsilon }_{\alpha \beta }$ задаются в плоскости пластины. Соотногения деформации-перемещения в теории Кирхгофа — Лява ${\epsilon }_{\alpha \beta }=\frac{1}{2}(u_{\alpha ,\beta }+u_{\beta ,\alpha })-x_3{w}_{,\alpha \beta }.$ Таким образом, в результирующие моменты, соответствующие этим перемещениям $\left[\begin{array}{c}{M}_{11}\\ M_{22}\\ M_{12}\end{array}\right]=-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}\left[\begin{array}{ccc}1& \nu & 0\\ \nu & 1& 0\\ 0& 0& 1-\nu \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{w}_{,11}\\ w_{,22}\\ w_{,12}\end{array}\right]$ Основные уравнение для изотропной и однородной пластины однородной толщины $2h$ при отсутствии перемещений в срединной плоскости $M_{11,11}+2M_{12,12}+M_{22,22}-q(x,t)=2\rho h\ddot{w}-\frac{2}{3}\rho h^3({\ddot{w}}_{,11}+{\ddot{w}}_{,22}+{\ddot{w}}_{,33}).$ Дифференциация выражений для моментов даёт $\begin{array}{cc}{M}_{11,11}& =-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}(w_{,1111}+\nu w_{,2211})\\ M_{22,22}& =-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}(\nu w_{,1122}+w_{,2222})\\ M_{12,12}& =-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}(1-\nu )w_{,1212}\end{array}$ Подставление в основные уравнения приходим к $\begin{array}{cc}-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}& (w_{,1111}+\nu w_{,2211}+2(1-\nu )w_{,1212}+\nu w_{,1122}+w_{,2222})=\\ & q(x,t)+2\rho h\ddot{w}-\frac{2}{3}\rho h^3({\ddot{w}}_{,11}+{\ddot{w}}_{,22}+{\ddot{w}}_{,33}).\end{array}$ Поскольку порядок дифференциации не имеет значения, то $w_{,2211}=w_{,1212}=w_{,1122}$. Отсюда $\begin{array}{cc}-\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}& (w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222})=\\ & q(x,t)+2\rho h\ddot{w}-\frac{2}{3}\rho h^3({\ddot{w}}_{,11}+{\ddot{w}}_{,22}+{\ddot{w}}_{,33}).\end{array}$ Если жёсткость пластины определим как $D:=\frac{2h^{3}E}{3(1-{\nu }^2)}$ то $D(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222})=-q(x,t)-2\rho h\ddot{w}+\frac{2}{3}\rho h^3({\ddot{w}}_{,11}+{\ddot{w}}_{,22}+{\ddot{w}}_{,33}).$ Для небольших деформаций, мы часто пренебрегаем пространственными производными поперечного ускорения пластины, тогда $D(w_{,1111}+2w_{,1212}+w_{,2222})=-q(x,t)-2\rho h\ddot{w}.$ Тошда в прямой тенсорной нотации, основное уравнение для пластин $D{\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^{2}w=-q(x,y,t)-2\rho h\ddot{w}.$