Трапецеидальный синус

Файл:Тригонометрический и трапецеидальный синусы.png

Трапецеидальный и тригонометрический синусы

Трапецеидальный синус — кусочно-гладкая функция действительной переменной с периодом $2\pi$. Она находит широкое применение, например, в электро- и радиотехнике. На замкнутом интервале $[0;2\pi ]$ трапецеидальный синус задаётся следующими формулами:

${\sin }_{tr}x=\frac{4x}{\pi },0\le x\le \frac{\pi }{4}$;

${\sin }_{tr}x=1,\frac{\pi }{4}\le x\le \frac{3\pi }{4}$

${\sin }_{tr}x=\frac{4(\pi -x)}{\pi },\frac{3\pi }{4}\le x\le \frac{5\pi }{4}$

${\sin }_{tr}x=-1,\frac{5\pi }{4}\le x\le \frac{7\pi }{4}$

${\sin }_{tr}x=\frac{4(x-2\pi )}{\pi },\frac{7\pi }{4}\le x\le 2\pi$

Разложение в ряд Фурье

Как и любая кусочно-гладкая периодическая функция действительного аргумента, трапецеидальный синус может быть разложен в ряд Фурье. Из-за нечётности трапецеидального синуса его разложение в тригонометрический ряд Фурье не содержит членов с косинусом.

Кроме того, трапецеидальный синус не содержит в своём разложении чётных гармоник. Первые несколько коэффициентов разложения имеют вид:

$b_1=\frac{8\sqrt{2}}{{\pi }^2},b_3=\frac{8\sqrt{2}}{9{\pi }^2},b_5=-\frac{8\sqrt{2}}{25{\pi }^2},b_7=-\frac{8\sqrt{2}}{49{\pi }^2}$

Сходимость разложения трапецеидального синуса в ряд Фурье иллюстрируется графиком:

Файл:Разложение.png

Применение

Трапецеидальный синус широко применяется в электротехнике, поскольку переменный ток такой формы достаточно просто получить из постоянного тока при большой мощности нагрузкиШаблон:Уточнить. В частности, в современных ИБП и инверторах выходное напряжение чаще всего имеет форму трапецеидального синуса. Также трапецеидальный синус применяется для анализа некоторых задач теории колебаний, где использование обычного (тригонометрического) синуса приводит к сильному усложнению конечных результатов.