Удлинённая пятиугольная бипирамида

Удлинённая пятиуго́льная бипирами́да — один из многогранников Джонсона (J₁₆, по Залгаллеру — М₃+П₅+М₃).

Составлена из 15 граней: 10 правильных треугольников и 5 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; каждая треугольная грань окружена квадратной и двумя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между двумя квадратными гранями, 10 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 10 — между двумя треугольными.

У удлинённой пятиугольной бипирамиды 12 вершин. В 10 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 2 вершинах сходятся пять треугольных граней.

Удлинённую пятиугольную бипирамиду можно получить из трёх многогранников — двух правильных пятиугольных пирамид (J₂) и правильной пятиугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основания пирамид к основаниям призмы.

Метрические характеристики

Если удлинённая пятиугольная бипирамида имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{5}{2}(2+\sqrt{3})a^2\approx 9,3301270a^2,$

$V=\frac{1}{12}(5+\sqrt{5}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^3\approx 2,3234831a^3.$

В координатах

Удлинённую пятиугольную бипирамиду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $(\pm 1;-\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}};\pm 1),$
• $(\pm \frac{1+\sqrt{5}}{2};\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}};\pm 1),$
• $(0;\sqrt{\frac{10+2\sqrt{5}}{5}};\pm 1),$
• $(0;0;\pm (1+\sqrt{\frac{10-2\sqrt{5}}{5}})).$

При этом две из шести осей симметрии многогранника будет совпадать с осями Oy и Oz, а две из шести плоскостей симметрии — с плоскостями xOy и yOz.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld