Удлинённая треугольная пирамида

Удлинённая треуго́льная пирами́да — один из многогранников Джонсона (J₇, по Залгаллеру — М₁+П₃).

Составлена из 7 граней: 4 правильных треугольников и 3 квадратов. Каждая квадратная грань окружена двумя квадратными и двумя треугольными; среди треугольных граней 1 окружена тремя квадратными, остальные 3 — квадратной и двумя треугольными.

Имеет 12 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между двумя квадратными гранями, 6 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 3 — между двумя треугольными.

У удлинённой треугольной пирамиды 7 вершин. В 3 вершинах сходятся две квадратных грани и одна треугольная; в 3 вершинах сходятся две квадратных и две треугольных грани; в 1 вершине сходятся три треугольных грани.

Удлинённую треугольную пирамиду можно получить из двух многогранников — правильного тетраэдра и правильной треугольной призмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив их друг к другу треугольными гранями.

Метрические характеристики

Если удлинённая треугольная пирамида имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=(3+\sqrt{3})a^2\approx 4,7320508a^2,$

$V=(\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4})a^3\approx 0,5508638a^3.$

В координатах

Удлинённую треугольную пирамиду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели координаты

• $(\pm 1;-\frac{\sqrt{3}}{3};\pm 1),$
• $(0;\frac{2\sqrt{3}}{3};\pm 1),$
• $(0;0;1+\frac{2\sqrt{6}}{3}).$

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Заполнение пространства

С помощью удлинённых треугольных пирамид, квадратных пирамид (J₁) и/или октаэдров можно замостить трёхмерное пространство без промежутков и наложений (см. иллюстрацию).

Ссылки

• Шаблон:Mathworld