Упорядоченное кольцо

Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо $R$ (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ и кольца целых кратных.

Упорядоченное кольцо целых чисел на числовой прямой

Определение

Пусть $R$ — кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение $⩽$ (меньше или равно) со следующими свойствами.

1. Рефлексивность: $x⩽x$.
2. Транзитивность: если $x⩽y$ и $y⩽z$, то $x⩽z$.
3. Антисимметричность: если $x⩽y$ и $y⩽x$, то $x=y$.
4. Линейность: все элементы $F$ сравнимы между собой, то есть либо $x⩽y$, либо $y⩽x$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:

5. Если $x⩽y$, то для любого z: $x+z⩽y+z$.
6. Если $0⩽x$ и $0⩽y$, то $0⩽xy$.

Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо $R$ называется упорядоченнымШаблон:Sfn.

Примеры упорядоченных колец

• Кольцо целых чисел $\mathbb{Z}.$
• Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу $k$ (не обязательно целому).
• Любое упорядоченное поле — например, поля рациональных и вещественных чисел) являются также упорядоченными кольцами.
• Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)Шаблон:Sfn.

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: $x⩾y$ означает, что $y⩽x$.

Отношение больше: $x>y$ означает, что $x⩾y$ и $x\ne y$.

Отношение меньше: $x<y$ означает, что $y>x$.

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.

Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца $R$ часто обозначается через $R_{+}.$

Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.

Основные свойства

Для всех $x,y,z\in R$ имеют место следующие свойства.

• Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если $x$ положителен, то $-x$ отрицателен, и наоборот.
• Однотипные неравенства можно складывать:

Если $x⩽y$ и $x^{\prime }⩽y^{\prime }$, то $x+x^{\prime }⩽y+y^{\prime }$.

• Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:

Если $x⩽y$ и $z⩾0$, то $zx⩽zy$.

• Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
• Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
  • Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)Шаблон:Sfn.
  • Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда $1>0$ (так как 1 есть квадрат самой себя).
• Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
• Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу $\mathbb{Z}$ целых чиселШаблон:Sfn.

Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения

• Комплексные числа не образуют упорядоченного кольца, потому что в упорядоченном кольце, как указано выше, квадрат элемента всегда неотрицателен, и мнимая единица не может в него входить.
• Конечные поля.
• p-адические числа.

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элемента $x:$

$|x|=\max (x,-x)$

Здесь функция $\max$ осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех $x,y$ из кольца)Шаблон:Sfn.

• $|x|=0$ тогда и только тогда, когда $x=0$.
• Для всех ненулевых $x$ и только для них $|x|>0$.
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: $|x|=|-x|$
• Неравенство треугольника: $|x+y|⩽|x|+|y|$.
• Мультипликативность: $|xy|=|x||y|.$
• $|x|⩽y$ равносильно $-y⩽x⩽y$

Вариации и обобщения

Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:

• Кольцо является не линейным, а лишь частично упорядоченным, то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка.
• Вместо кольца имеется полукольцо, то есть в нём, вообще говоря, нет вычитанияШаблон:Sfn. Пример: натуральный ряд, расширенный нулём.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Ordered ring на сайте PlanetMath Шаблон:Ref-en.