Уравнение Д’Аламбера

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

$y=x\phi (y^{\prime })+f(y^{\prime }),$

где $\phi$ и $f$ — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при $\phi (y^{\prime })\equiv y^{\prime }$ называется уравнением Клеро.

Решение

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

$y^{\prime }=p.$

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

$y=x\phi (p)+f(p).$

Дифференцирование по x даёт:

$p=\phi (p)+(x{\phi }^{\prime }(p)+f^{\prime }(p))\frac{dp}{dx}$

или

$p-\phi (p)=(x{\phi }^{\prime }(p)+f^{\prime }(p))\frac{dp}{dx}.$

Особые решения

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной $y^{\prime }=p=p_0$, удовлетворяющей алгебраическому уравнению

$p_0-\phi (p_0)=0,$

так как для постоянного $p_0$

$\frac{dp}{dx}\equiv 0.$

Если $y^{\prime }=p_0$, то $y=p_{0}x+C_0$, постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

$p_{0}x+C_0=x\phi (p_0)+f(p_0),$

так как в рассматриваемом случае $p_0=\phi (p_0)$, то

$C_0=f(p_0)$.

Окончательно можем написать:

$y=x\phi (p_0)+f(p_0)$.

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решение

Будем рассматривать обратную функцию к $p=y^{\prime }$, тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

$\frac{dx}{dp}-x\frac{{\phi }^{\prime }(p)}{p-\phi (p)}=\frac{f^{\prime }(p)}{p-\phi (p)}$.

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

$x=w(p,C).$

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

$\{\begin{array}{c}y=x\phi (p)+f(p)\\ x=w(p,C)\end{array}$.

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

$\mathrm{\Phi }(x,y,C)=0$.