Фазовый интеграл

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фазовый интеграл (Шаблон:Lang-en) — один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 1960-х годов. Подобно интегралу по траекториям этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное влиянием какого-то поля. Например, влияние магнитного поля на движение квантовой частицы[1] приводит к смещению фазы:

ΔφH=eℏc∫S(𝐀,d𝐥),

где e — заряд электрона, c — скорость света в вакууме, ℏ — приведённая постоянная Планка, 𝐀 — векторный потенциал магнитного поля (в системе СИ измеряется в вольтах) и d𝐥 — элемент траектории движения частицы.

Дифференциальное изменение фазы

На практике более интересен случай не интегрального изменения фазы, когда учитывается абсолютное значение векторного потенциала A (а значит, и магнитного поля B), а дифференциального изменения фазы. Дело в том, что в первом случае при больших значениях амплитуды потенциала A мы будем иметь и большое значение изменения фазы, что не столь интересно как дифференциальный случай, когда фаза изменяется на величину, близкую к 2π. Например, в интерферометрии более важно не абсолютное значение параметра, а дифференциальное, что собственно и приводит к этому явлению. В квантовых антиточках Голдмана при измерении осцилляций проводимости также более существенно дифференциальное значение магнитного поля ΔB. Поэтому возникает тривиальная задача нахождения дифференциального изменения фазы δ(ΔφH) при наличии периодичности магнитного поля с периодом ΔB (а значит и ΔA). В этом случае общий фазовый интеграл Фейнмана можно переписать в форме:

δ(ΔφH)=eℏcδ∫S(𝐀,d𝐥)=eℏcΔA⋅ΔS,

где ΔS=2πΔlB — длина контура обхода, обусловленного периодичностью ΔB, а ΔlB=ℏeΔB — магнитная длина, обусловленная периодичностью ΔB. Таким образом, находим дифференциальное изменение фазы в форме:

δ(ΔφH)=2πceℏΔAΔB=2πfph.

Конечно, нас более интересует безразмерное число, или так называемый фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью магнитного поля ΔB:

fph=12πδ(ΔφH)=kphΔAΔB,

где kph=1ceℏ=0,13001534 Тл1/2В−1 — фазовая константа, которая зависит только от фундаментальных констант. Основная проблема, что осталась, состоит в том, что на практике достаточно легко измерять только магнитное поле ΔB, а потенциал ΔA находится только путём расчётов при определённых допущениях.

Изменение фазы в «квантовой антиточке»

Шаблон:Орисс Ситуация кардинально изменилась с экспериментальной разработкой «квантовых антиточек» Голдманом и построением на их основе «квантовых интерферометров». Дело в том, что во всех экспериментах по исследованию квантового эффекта Холла всегда присутствует не только магнитное поле B, но и электрическое поле E, но оно практически не учитывалось. И только в экспериментах Голдмана впервые начался учёт электрического поля и контролировалась его квантизация. Конечно, само электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля, непосредственно не измеряется. Обычно измеряется напряжение управления на гетеропереходе Vbg, а зная толщину гетероперехода, можно вычислить электрическое поле и электрическую индукцию (учитывая диэлектрическую проницаемость полупроводника). Основным результатом экспериментов Голдмана является то, что и магнитное поле ΔB, и электрическое поле ΔVbg квантуются коррелированно одно с другим (см. рисунки в публикациях Голдмана).

Не менее очевидно, что и магнитный потенциал ΔA должен коррелировать определённым образом с изменением электрического поля ΔVbg. Размерности магнитного потенциала совпадают с размерностью напряжения на затворе (вольты!), поэтому вполне справедливо допустить, что они равны по величине:

ΔA=ΔVbg.

Результаты обработки нескольких статей Голдмана, посвященных квантовым интерферометрам, представлены в следующей таблице:

Фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью электромагнитного поля
ΔB, Тл ΔVbg, В ΔB/ΔVbg, Тл/B fph [fph] f рисунок источник
2,118⋅10−2 0,882 2,401⋅10−2 0,788 4/5 2/5 Fig. 10 Goldman [1]
2,79⋅10−3 0,325 8,585⋅10−3 0,800 4/5 1 Fig. 2.a, c Goldman [2]
1,428⋅10−3 0,3421 4,174⋅10−3 1,177 6/5 2 Fig. 2.b, d Goldman [2]
2,00⋅10−2 0,882 2,267⋅10−2 0,811 4/5 2/5 Fig. 3 Goldman [2]
2,00⋅10−2 0,882 2,267⋅10−2 0,811 4/5 2/5 Fig. 2 Goldman [3]
2,692⋅10−3 0,1154 2,333⋅10−2 0,289 1/3 1/3 Fig. 3.b Goldman [4]
2,351⋅10−3 0,3143 7,480⋅10−3 0,841 4/5 1 Fig. 3.a Goldman [4]
2,692⋅10−3 0,1308 2,058⋅10−2 0,328 1/3 1/3 Fig. 5.b Goldman [5]
2,357⋅10−3 0,3214 7,334⋅10−3 0,861 4/5 1 Fig. 5.a Goldman [5]
2,692⋅10−3 0,1308 2,058⋅10−2 0,328 1/3 1/3 Fig. 4.b Goldman [6]
2,357⋅10−3 0,314 7,506⋅10−3 0,861 4/5 1 Fig. 4.a Goldman [6]
2,615⋅10−3 0,11154 2,344⋅10−2 0,293 1/3 1/3 Fig. 3.b Goldman [7]
2,357⋅10−3 0,314 7,506⋅10−3 0,861 4/5 1 Fig. 3.a Goldman [7]
7,143⋅10−4 0,3846 1,857⋅10−3 1,871 9/5 4 Fig. 4(5) Goldman [8]
1,85⋅10−3 0,35 5,286⋅10−3 1,058 1 2 Fig. 4(5) Goldman [8]
2,96⋅10−3 0,2077 1,425⋅10−2 0,496 1/2 1 Fig. 4(5) Goldman [8]

Безусловно, полученный результат впечатляет, поскольку получены те же дробные значения фазы, что и так называемые дробные значения зарядов Голдмана. Следует отметить, что при вычислении зарядов ошибка увеличивается за счет учёта толщины гетероперехода и его диэлектрической проницаемости.[2]

См. также

Литература

  • Давыдов А. С. Квантовая механика. — изд 2-е. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
  • Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля
  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966. — 344 с.
  • Фейнман Р., Хибс А. Квантовая механика и интегралы по траекториям. — М.: Мир, 1968. — 382 с.
  1. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Realization of a Laughlin quasiparticle interferometer: Observation of fractional statistics. Препринт (2005).
  2. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Aharonov-Bohm Superperiod in a Laughlin Quasiparticle Interferometer // Phys. Rev. Lett. 95, 246802 (2005). Препринт (2005).
  3. Goldman V. J., Camino F. E. and Wei Zhou Realization of a Laughlin Quasiparticle Interferometer: Observation of Anyonic Statistics. CP 850, Low Temperature Physics: 24 International Conference on Low Temperature Physics; edited by Y. Takano, S. P. Herschfeld, and A. M. Goldman. 2006 American Institute of Physics. 0-7354-0347-3/06.
  4. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Primary-Filling e/3 Quasiparticle Interferometer. Препринт (2006).
  5. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of a primary-filling e/3 quasiparticle interferometer. Препринт (2006).
  6. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Experimental realization of Laughlin quasiparticle interferometers. Physica E 40 (2008), 949—953
  7. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. e/3 Laughlin Quasiparticle Primary-Filling 1/3 Interferometer // Phys. Rev. Lett. 98, 076805 (2007).
  8. Camino F. E., Wei Zhou and Goldman V. J. Quantum transport in electron Fabry-Perot interferometers". Препринт (2007).

Примечания

Шаблон:Примечания

  1. ↑ Фейнман даже ошибочно называет его уравнением квантового движения под влиянием силы Лоренца. В действительности эту роль исполняет теорема Эренфеста.
  2. ↑ На первый взгляд может показаться, что полученный результат не зависит от свойств материала, из которого сделана антиточка. Но это не так. Действительно, в формулу для изменения фазы входит период магнитной индукции (ΔB), измеренный в воздухе (а не в гетеропереходе). И хотя относительная проницаемость воздуха близка к единице, в самом гетеропереходе она может быть другой.
Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Фазовый_интеграл&oldid=6663