Фигура (дифференциальная геометрия)

Фигу́ра (Шаблон:Lang-en) — любое подмножество некоторого однородного пространства с фундаментальной группой, которое можно включить в некоторое пространство фигуры — множество подмножеств этого пространства такое, что это множество изоморфно некоторому пространству геометрического объекта. Компоненты геометрического объекта называются координатами соответствующей фигурыШаблон:Sfn.

Ранг, жанр, характеристика и тип геометрического объекта называются рангом, жанром, характеристикой и типом соответствующей фигуры. Вместе они образуют арифметические инварианты фигуры. Например, окружность в трёхмерном евклидовом пространстве — это фигура ранга 6, жанра 1, характеристики 1 и типа 1; точка в трёхмерном проективном пространстве — это фигура ранга 3, жанра 0, характеристики 2 и типа 1Шаблон:Sfn.

Вполне интегрируемая система уравнений Пфаффа, определяющая геометрический объект, называется системой уравнений инвариантности (стационарности) фигурыШаблон:Sfn.

Простая и индуцирующая фигура

Пусть даны $F$ и $\overline{F}$ — две некоторые фигуры некоторого однородного пространства. Если существует отображение пространства фигуры $F$ на пространство фигуры $\overline{F}$ такое, что любой геометрический объект, соответствующий фигуре $\overline{F}$, охватывается любым геометрическим объектом, соответствующим фигуре $F$, то говорят, что фигура $F$ охватывает, или индуцирует, фигуру $\overline{F}$ (равно фигуру $\overline{F}$ охватывается, или индуцируется, фигурой $F$)Шаблон:Sfn.

Фигура $F$ ранга $N$ называется простой, если она не охватывает никакой другой фигуры меньшего ранга. Фигура $F$ называется индуцирующей фигурой индекса $\overline{N}<N$, если существует охватываемая ею фигура ранга $\overline{N}$, причем ранг $N^{\prime }$ любой другой фигуры $F^{\prime }$, охватываемой фигурой $F$, не превосходит $\overline{N}$Шаблон:Sfn.

Например, точка, Шаблон:S плоскость, гиперквадрика в Шаблон:S проективном пространстве — простые фигуры. Гиперквадрика в Шаблон:S аффинном пространстве и Шаблон:S ($d⩽n-2$) квадрика в Шаблон:S проективном пространстве — индуцирующие фигуры соответственно индексов $n$ и $(d+2)(n-d-1)$Шаблон:Sfn.

Пара фигур. Коэффициент инцидентности

Парой фигур $F=(F_1,F_2)$ называется упорядоченная множество двух фигур. Коэффициентом инцидентности пары фигур называется число

$k=N_1+N_2-N$,

где $N_1$ и $N_2$ — ранги фигур $F_1$ и $F_2$ соответственно, а $N$ — ранг системы форм

${\mathrm{\Omega }}^{J_1}$, ${\mathrm{\Omega }}^{J_2}$, $J_1=1,2,\dots ,N_1$, $J_2=1,2,\dots ,N_2$, —

левых частей уравнений стационарности фигур $F_1$ и $F_2$ соответственно. Если коэффициент инцидентности пары $k=0$, то пара $F=(F_1,F_2)$ называется неинцидентнойШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H