Фильтр Саллена — Ки

Фильтр Са́ллена — Ки — один из типов активных электронных фильтров 2-го порядка.

Реализуется в виде электронной схемы с двумя резисторами, двумя конденсаторами и активным элементом (например, с операционным усилителем), в совокупности образующих фильтр с передаточной функцией второго порядка. Фильтры более высокого порядка могут быть реализованы включением нескольких фильтров последовательно, причём для реализации фильтра с нечётным порядком в цепочку фильтров включают по крайней мере один фильтр 1-го порядка.

Описываемая схема также известна как VCVS-фильтр (Шаблон:Lang-en) источник напряжения, управляемый напряжением — ИНУН. Иногда её называют «фильтром с многопетлевой обратной связью».

Назван в честь исследователей из Массачусетского технологического института Роя Саллена (Шаблон:Lang-en) и Эдвина Ки (Шаблон:Lang-en), предложивших структуру такого фильтра в 1955 году.

Для упрощения формул фильтры, описанные в этой статье, кроме полосового фильтра, имеют коэффициент усиления в полосе пропускания равный единице (0 дБ). Реальные фильтры Саллена — Ки могут иметь произвольный коэффициент усиления, задаваемый резистивным делителем напряжения в отрицательной обратной связи усилительного компонента, например, операционного усилителя (ОУ), как показано в схеме полосового фильтра.

Фильтр нижних частот

Вариант фильтра нижних частот с единичным усилением в полосе пропускания.

Операционный усилитель в данной схеме включён по схеме повторителя напряжения.

В общем случае частота среза $F_c$ и добротность фильтра $Q$ задаются следующими выражениями:

$F_c=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}$

$Q=\frac{\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}{C_2(R_1+R_2)}$

К примеру, представленная на рисунке схема с указанными номиналами компонентов имеет частоту среза 15,9 кГц и добротность 0,5.

Передаточная функция фильтра:

$H(s)=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1{C}_2{R}_1{R}_2{s}^2},$

где $s$ — оператор Лапласа.

При формальной замене $s=j\omega$ получаем комплексную передаточную характеристику в виде:

$H(\omega )=\frac{1}{1+j{C}_2(R_1+R_2)\omega -C_1{C}_2{R}_1{R}_2{\omega }^2}.$

Фильтр верхних частот

Вариант фильтра верхних частот с частотой среза в 72 Гц и добротностью 0,5.

Соответствующие выражение для частоты среза:

$F_c=\frac{1}{2\pi \sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}$

и добротности:

$Q=\frac{R_2{C}_x}{\sqrt{R_1{R}_2{C}_1{C}_2}}$,

где

$C_x=C_1\Vert C_2=\frac{C_1{C}_2}{C_1+C_2}$.

Полосовой фильтр

Вариант полосового фильтра.

Резонансная частота:

$F_c=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{R_f+R_1}{C_1{C}_2{R}_1{R}_2{R}_f}}$

Делитель напряжений в обратной связи задаёт коэффициент передачи фильтра на резонансной частоте. ОУ включён по схеме неинвертирующего усилителя и его собственный коэффициент усиления $G$ выражается:

$G=1+\frac{R_b}{R_a}$,

и усиление этого полосового фильтра на резонансной частоте:

$A=\frac{G}{3-G}$.

Важно заметить, что коэффициент $G$ не должен превышать 3, в противном случае фильтр потеряет устойчивость и будет генерировать колебания.

Ограничения

Фильтры со структурой Саллена — Ки порядка более двух неприменимы из-за потери устойчивости. Обойти данное ограничение позволяет последовательное соединение нескольких активных фильтров второго порядка.

Ссылки

• Analog Devices Мастер расчёта активных фильтровШаблон:Ref-ru
• Фильтруй сигнал!