Формула Карди

Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Шаблон:Не переведено на основании рассуждений конформной теории поля, она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами $[a,b]$ и $[c,d]$ границы односвязной области $\mathrm{\Omega }$ в задаче критической перколяции равна

$\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Omega };[a,b],[c,d])=\frac{\mathrm{\Gamma }(2/3)}{\mathrm{\Gamma }(1/3)\mathrm{\Gamma }(4/3)}{\eta }^{1/3}{}_2{F}_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},\eta )=1-\frac{\mathrm{\Gamma }(2/3)}{\mathrm{\Gamma }(1/3)\mathrm{\Gamma }(4/3)}(1-\eta {)}^{1/3}{}_2{F}_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},1-\eta ),$

где ${}_2{F}_1$ — гипергеометрическая функция, а $\eta$ — двойное отношение

$\eta =\frac{x_4-x_3}{x_3-x_1}:\frac{x_4-x_2}{x_2-x_1}$

четырёх образов $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ точек $a,b,c,d$ при конформном отображении области $\mathrm{\Omega }$ в верхнюю полуплоскость. Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Формула Карди в переформулировке Карлесона: $\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Delta };[a,b],[c,d])=x$.

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область $\mathrm{\Omega }$ в правильный треугольник со стороной 1, а точки $a$, $b$ и $c$ в вершины этого треугольника, переводит точку $d$ в находящуюся на расстоянии $x$ от вершины-образа точки $c$, то искомая вероятность равнаШаблон:SfnШаблон:Sfn $x$.

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х годов Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Формула

Исторические предпосылки

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд предложил следующую задачу: Шаблон:Quote Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе, исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогазаШаблон:Sfn.

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др., в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Шаблон:Не переведено высказываетШаблон:Sfn гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.Шаблон:Sfn

Постановка задачи

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область $\mathrm{\Omega }$ на плоскости, с четырьмя отмеченными точками $a,b,c,d$ на границе. При каждом $\delta >0$, эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом) $\delta$ — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф ${\mathrm{\Omega }}^{\delta }$ с отмеченными точками $a^{\delta },b^{\delta },c^{\delta },d^{\delta }$.

Для каждого $\delta >0$, находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность ${\mathrm{\Pi }}_{\delta }$ это вероятность наличия пути от дуги $[a^{\delta },b^{\delta }]$ к дуге $[c^{\delta },d^{\delta }]$, идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей ${\mathrm{\Pi }}_{\delta }$ при $\delta$, стремящемся к нулю:

$\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Omega },[a,b],[c,d]):=\underset{\delta \to 0}{\lim }{\mathrm{\Pi }}_{\delta }.$

Ответ Карди

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

• Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями $\mathrm{\Omega }$ и ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$ есть конформное отображение $\phi$, переводящее точки $a,b,c,d$ на границе $\mathrm{\Omega }$ в точки $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$ на границе ${\mathrm{\Omega }}^{\prime }$, то

$\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Omega };[a,b],[c,d])=\mathrm{\Pi }({\mathrm{\Omega }}^{\prime };[a^{\prime },b^{\prime }],[c^{\prime },d^{\prime }]).$

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек $a,b,c,d$ могут быть зафиксированы.

• В верхней полуплоскости ${ℂ}_{+}=\{Imz>0\}$ для точек $0,1-u,1,\mathrm{\infty }$ вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию ${}_2{F}_1$ какШаблон:Sfn

$\mathrm{\Pi }({ℂ}_{+};[1-u,1],[\mathrm{\infty },0])=\frac{\mathrm{\Gamma }(2/3)}{\mathrm{\Gamma }(1/3)\mathrm{\Gamma }(4/3)}{u}^{1/3}{}_2{F}_1(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\frac{4}{3},u).$

Это представление может быть переписано как интеграл

$\mathrm{\Pi }({ℂ}_{+};[1-u,1],[\mathrm{\infty },0])=\frac{1}{\underset{0}{\overset{1}{\int }}(v(1-v){)}^{-2/3}dv}\underset{0}{\overset{u}{\int }}(v(1-v){)}^{-2/3}dv.$

Переформулировка Карлесона

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил, что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков $[a,b],[c,d]$, который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Доказательство для случая треугольной решётки

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области ${\mathrm{\Omega }}_{\delta }$ с тремя отмеченными точками $A_{\delta },B_{\delta },C_{\delta }$ на границе, рассматривается функция $h_{C,\delta }(z)$ на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги $A_{\delta }{C}_{\delta }$ до дуги $B_{\delta }{C}_{\delta }$ границы, отделяющего от дуги $A_{\delta }{B}_{\delta }$ точку $z$. Вероятность пробоя ${\mathrm{\Pi }}_{\delta }({\mathrm{\Omega }}_{\delta };[A_{\delta }{B}_{\delta }],[C_{\delta }{D}_{\delta }])$ задаётся значением этой функции в граничной точке $D_{\delta }$.

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

$h_{\delta }=h_{A,\delta }(z)+h_{B,\delta }(z)+h_{C,\delta }(z),$

так и для их линейной комбинации

$s_{\delta }=h_{A,\delta }(z)+\tau h_{B,\delta }(z)+\tau h_{C,\delta }(z),\tau =e^{2\pi i/3},$

дискретно-антиголоморфный дифференциал $\overline{\partial }$ оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага $\delta$). Отсюда следует голоморфность предельных функций $h=\underset{\delta \to 0}{\lim }{h}_{\delta }$ и $s=\underset{\delta \to 0}{\lim }{s}_{\delta }$. Наконец, функция $h$ голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область $\mathrm{\Omega }$ в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки $0,1,e^{\pi i/3}$; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

Ссылки

• Шаблон:Cite web

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Статья