Центральный биномиальный коэффициент

В математике n-й центральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентов

(\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}}

для всех

n \geq 0

.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … Шаблон:OEIS

Свойства

Производящая функция:

\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}} = 1 + 2 x + 6 x^{2} + 20 x^{3} + 70 x^{4} + 252 x^{5} + \dots .

По формуле Стирлинга получаем:

(\binom{2 n}{n}) \sim \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}}

при

n \to \infty

.

Полезные ограничения:

\frac{4^{n}}{\sqrt{4 n}} \leq (\binom{2 n}{n}) \leq \frac{4^{n}}{\sqrt{3 n + 1}}

для каждого

n \geq 1

Если нужна большая точность:

(\binom{2 n}{n}) = \frac{4^{n}}{\sqrt{π n}} (1 - \frac{c_{n}}{n})

где

\frac{1}{9} < c_{n} < \frac{1}{8}

для всех

n \geq 1

.

С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, C_n. Их формула:

C_{n} = \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n}) = (\binom{2 n}{n}) - (\binom{2 n}{n + 1})

для каждого

n \geq 0

.

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа $\frac{Γ (2 n + 1)}{Γ (n + 1)^{2}} = \frac{1}{n B (n + 1, n)}$ , для всех действительных n, при которых выражение определено, где $Γ (x)$ — это Гамма-функция, а $B (x, y)$ это Бета-функция.

См. также

Предположение Эрдёша о бесквадратности

Ссылки

Центральный биномиальный коэффициент

Свойства

См. также

Ссылки

Навигация

Поиск