Число Дотти

Число Дотти является единственной неподвижной точкой функции косинуса.

Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения

$\cos x=x,$

где аргумент $\cos$ измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно $0,739085133215...$.

Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции $x-\cos (x)$ равна $\sin (x)+1$ и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение $\cos x=x$ однозначно определяет рассматриваемую константу.

Значения тригонометрических функций

Пусть $D$ — число Дотти. Тогда:

$\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(D)\approx 0,673612029183$

$\mathrm{t}\mathrm{g}(D)\approx 0,911413312094$

Свойства

Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной) окрестности. Иначе говоря, для любого действительного $x$ число $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}(\underset{n}{\underbrace{\cos (\cos (\dots \cos (x)\dots ))}})$ равно константе Дотти. Уравнение $\cos z=z$ для комплексного $z$ имеет, кроме неё, бесконечное количество решений, однако ни одно из них не является притягивающей неподвижной точкой.

Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.

С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда $\frac{\pi }{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n-1}{\pi }^{2n-1}$, где $a_n$ для любого нечётного $n$ является рациональным числом, определённым следующим образом:

$\begin{array}{cc}{a}_n& =\frac{1}{n!2^n}\underset{t\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{{\partial }^{n-1}}{\partial t^{n-1}}{(\frac{\cos t}{t-\pi /2}-1)}^{-n}\end{array}$

Первые несколько членов последовательности $(a_n)$ равны $-\frac{1}{4},-\frac{1}{768},-\frac{1}{61440},-\frac{43}{165150720},\dots$ Шаблон:Refn

Формула в Excel

Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Происхождение названия

Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.

Ссылки

• Т. Миллер (1890) On the numerical values of the roots of the equation cosx = x
• Валерий Салов (2012) Inevitable Dottie Number. Iterals of cosine and sine
• Mohammad K. Azarian (2008) On the fixed points of a function and the fixed points of its composite functions