Электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания можно изобразить в виде самораспространяющихся поперечных колебаний электрического и магнитного полей. На рисунке — плоскополяризованная волна, распространяющаяся слева направо. Колебания электрического поля изображены в вертикальной плоскости, а колебания магнитного поля — в горизонтальной.

Электромагнитные колебания — периодические изменения напряжённости $E$ и индукции $B$ электромагнитного поля.

Электромагнитными колебаниями являются радиоволны, микроволны, инфракрасное излучение, видимый свет, ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи, гамма-лучи.

Существует близкий термин — электрические колебания. Периодические ограниченные изменения величин заряда $q$, тока $I$ или напряжения $U$ называют электрическими колебаниями. Синусоидальный переменный электрический ток является одним из видов вынужденных электрических колебаний.

Вывод формулы

Электромагнитные волны как универсальное явление были предсказаны классическими законами электричества и магнетизма, известными как уравнения Максвелла. Если вы внимательно посмотрите на уравнения Максвелла в отсутствие источников (зарядов или токов), то обнаружите, что помимо тривиального решения, когда напряжённости электрического и магнитного поля равны нулю в каждой точке пространства и ничего не меняется, существуют нетривиальные решения, представляющие собой изменения обеих напряжённостей в пространстве и времени. Начнём с уравнений Максвелла для вакуума:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=0,(1)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial }{\partial t}𝐁,(2)$

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0,(3)$

$\mathrm{\nabla }\times 𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{\partial }{\partial t}𝐄,(4)$

где

$\mathrm{\nabla }$ — векторный дифференциальный оператор набла.

Система уравнений (1)—(4) имеет тривиальное решение

$𝐄=𝐁=\mathrm{𝟎}.$

Чтобы найти нетривиальное решение, мы воспользуемся векторным тождеством, которое справедливо для любого вектора, в виде:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐀.$

Чтобы посмотреть как мы можем использовать его, возьмём операцию вихря от выражения (2):

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}).(5)$

Левая часть (5) эквивалентна:

$\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐄)=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄)-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄=-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄,(6)$

где мы упрощаем, используя уравнение (1).

Правая часть эквивалентна:

$\mathrm{\nabla }\times (-\frac{\partial 𝐁}{\partial t})=-\frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\nabla }\times 𝐁)=-{\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐄.(7)$

Уравнения (6) и (7) равны, таким образом эти результаты в дифференциальном уравнении для электрического поля, а именно

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐄,$

Применяя аналогичные исходные результаты в аналогичном дифференциальном уравнении для магнитного поля:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐁={\mu }_0{ϵ}_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}𝐁.$

Эти дифференциальные уравнения эквивалентны волновому уравнению:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial t^2},$

где $c_0$ — скорость волны в вакууме, $f$ — описывает смещение.

Или

$◻f=0,$

где $◻$ — оператор Д’Аламбера:

$◻={\mathrm{\nabla }}^2-\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}-\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}.$

Заметьте, что в случае электрического и магнитного полей скорость.:

$c_0=\frac{1}{\sqrt{{\mu }_0{ϵ}_0}},$

которая есть скорость света в вакууме. Уравнения Максвелла объединили диэлектрическую проницаемость вакуума ${\epsilon }_0$, магнитную проницаемость вакуума ${\mu }_0$  и непосредственно скорость света $c_0$. До этого вывода не было известно, что была такая строгая связь между светом, электричеством и магнетизмом.

Но имеются только два уравнения, а мы начали с четырёх, поэтому имеется ещё больше информации относительно волн, спрятанных в уравнениях Максвелла. Давайте рассмотрим типичную векторную волну для электрического поля.

$𝐄={𝐄}_{0}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_0|𝐤|t).$

Здесь ${𝐄}_0$ — постоянная амплитуда колебаний, $f$ — любая мгновенная дифференцируемая функция, $\widehat{𝐤}$ — единичный вектор в направлении распространения, а $𝐱$ - радиус-вектор. Мы замечаем, что $f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_0|𝐤|t)$ — общее решение волнового уравнения. Другими словами

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_0|𝐤|t)=\frac{1}{{c_0}^2}\frac{{\partial }^2}{{\partial }^{2}t}f(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_0|𝐤|t),$

для типичной волны, распространяющейся в $\widehat{𝐤}$ направлении.

Эта форма будет удовлетворять волновому уравнению, но будет ли она удовлетворять всем уравнениям Максвелла, и с чем соответствуется магнитное поле?

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐄=\widehat{𝐤}\cdot {𝐄}_0{f}^{\prime }(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_0|𝐤|t)=0,$

$𝐄\cdot \widehat{𝐤}=0.$

Первое уравнение Максвелла подразумевает, что электрическое поле ортогонально (перпендикулярно) направлению распространению волны.

$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=\widehat{𝐤}\times {𝐄}_0{f}^{\prime }(\widehat{𝐤}\cdot 𝐱-c_0|𝐤|t)=-\frac{\partial }{\partial t}𝐁,$

$𝐁=\frac{1}{c_0}\widehat{𝐤}\times 𝐄.$

Второе уравнение Максвелла порождает магнитное поле. Оставшиеся уравнения будут удовлетворяться выбором $𝐄,𝐁$.

Мало того, что волны электрического и магнитного полей распространяются со скоростью света, но они имеют ограниченную ориентацию и пропорциональную величину, $E_0=c_0{B}_0$, которую можно сразу же заметить из вектора Пойнтинга. Электрическое поле, магнитное поле и направление распространения волны все являются ортогональными, и распространение волны в том же направлении как вектор $𝐄\times 𝐁$.

С точки зрения электромагнитной волны, перемещающейся прямолинейно, электрическое поле может колебаться вверх и вниз, в то время как магнитное поле может колебаться вправо и влево, но эта картина может чередоваться с электрическим полем, колеблющемся вправо и влево, и магнитным полем, колеблющимся вверх и вниз. Эта произвольность в ориентации с предпочтением к направлению распространения известна как поляризация.

См. также

• Электромагнитное излучение
• Уравнения Максвелла
• Вибратор Герца
• Колебательный контур

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ