Энергия Уиллмора

«Поверхность Уиллмора», скульптура в Даремском университете в память Томасу Уиллмору

Энергия Уиллмора является численной мерой, отражающей отклонение заданной поверхности от круглой сферы. Математически энергия Уиллмора гладкой замкнутой поверхности, вложенной в трёхмерное евклидово пространство, определяется как интеграл от квадрата средней кривизны минус гауссова кривизна. Термин назван именем английского геометра Томаса Уиллмора.

Определение

В символическом выражении энергия Уиллмора поверхности S равна

$𝒲=\underset{S}{\int }{H}^{2}dA-\underset{S}{\int }KdA$,

где $H$ является средней кривизной, $K$ является гауссовой кривизной, а dA является площадью поверхности S. Для замкнутой поверхности, по формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны может быть вычислен в терминах эйлеровой характеристики $\chi (S)$ поверхности

$\underset{S}{\int }KdA=2\pi \chi (S),$

который является топологическим инвариантом, а потому не зависит от конкретного вложения в ${ℝ}^3$. Тогда энергия Уиллмора может выражена как

$𝒲=\underset{S}{\int }{H}^{2}dA-2\pi \chi (S)$

Альтернативной, но эквивалентной формулой является

$𝒲=\frac{1}{4}\underset{S}{\int }(k_1-k_2{)}^{2}dA$

где $k_1$ и $k_2$ являются главными кривизнами поверхности.

Свойства

Энергия Уиллмора всегда больше или равна нулю. Круглая сфера имеет нулевую энергию Уиллмора.

Энергию Уиллмора можно рассматривать как функционал на пространстве вложений в заданное пространство в смысле вариационного исчисления и можно менять вложение поверхности, оставляя её топологически неизменной.

Критические точки

Основной проблемой в вариационном исчислении является поиск критических точек и минимум функционала.

Для заданного топологического пространства это эквивалентно нахождению критических точек функции

$\underset{S}{\int }{H}^{2}dA$

поскольку эйлерова характеристика постоянна.

Можно найти минимум (локальный) для энергии Уиллмора с помощью градиентного спуска, который в этом контексте называется потоком Уиллмора.

Для сферы, вложенной в 3-мерное пространство, критические точки классифицировал БрайантШаблон:Sfn — они все являются конформными преобразованиями минимальных поверхностей, круглая сфера является минимумом, а все другие критические значения являются целыми числами, большими или равными 4$\pi$. Они называются поверхностями Уиллмора.

Поток Уиллмора

Поток Уиллмора является Шаблон:Не переведено 5, соответствующий энергии Уиллмора. Она является $L^2$-градиентным потоком.

$e[ℳ]=\frac{1}{2}\underset{ℳ}{\int }{H}^2\mathrm{d}A$

где H означает среднюю кривизну многообразия $ℳ$.

Линии потока удовлетворяют дифференциальному уравнению:

${\partial }_{t}x(t)=-\mathrm{\nabla }𝒲[x(t)]$

где $x$ лежит на поверхности.

Этот поток приводит к эволюционной задаче в дифференциальной геометрии — поверхность $ℳ$ эволюционирует во времени, следуя наиболее крутому уменьшению энергии. Подобно поверхностной диффузии поток является потоком четвёртого порядка, поскольку вариация энергии содержит четвёртую производную.

Приложения

• Клеточные мембраны стремятся к положению с минимальной энергией УиллмораШаблон:Sfn.
• Энергия Уиллмора используется для построения класса оптимальных выворачиваний сфер, минимаксных выворачиваний.

См. также

• Гипотеза Уиллмора

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья