H-принцип

Возможность вывернуть сферу наизнанку является одним из проявлений h-принципа

H-принцип (читается аш-принцип) — общий способ решения дифференциальных уравнений в частных производных и, в более общем плане, дифференциальных соотношений в частных производных. Н-принцип хорош для недоопределённых систем, подобных тем, которые появляются в задачах о погружении, изометрическом погружении и других.

Теория оформилась в работах Элиашберга, Громова и Филлипса.

Основанием послужили более ранние результаты, в которых решение дифференциальных соотношений сводилось к гомотопии, в частности в задачах о погружениях.

Первые идеи h-принципа появились в Шаблон:Iw, парадоксе выворачивания сферы, теореме Нэша — Кёйпера и теореме Смейла — Хирша.

Примерное представление

Предположим, мы хотим найти функцию $f$ на ${ℝ}^m$, которая удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных степени $k$ в координатах $(u_1,u_2,\dots ,u_m)$. Это уравнение можно записать как

$\mathrm{\Psi }(u_1,u_2,\dots ,u_m,J_f^k)=0,$

где $J_f^k$ означает все частные производные $f$ до степени $k$. Вместо каждой переменной в $J_f^k$ подставим независимую переменную $y_1,y_2,\dots ,y_N.$ Наше исходное уравнение можно рассматривать как систему

$\mathrm{\Psi }(u_1,u_2,\dots ,u_m,y_1,y_2,\dots ,y_N)=0$

и некоторое количество уравнений следующего типа

$y_j=\frac{{\partial }^{k}f}{\partial u_{i_1}\dots \partial u_{i_k}}.$

Решение уравнения

$\mathrm{\Psi }(u_1,u_2,\dots ,u_m,y_1,y_2,\dots ,y_N)=0$

называется формальным или неголономным решением, решение системы (которое является решением нашего первоначального уравнения) называется голономным решением.

Для существования голономного решения необходимо существование  неголономного решения. Обычно последнее довольно легко проверить, и если его нет, то наше исходное уравнение не имеет решений.

Говорят, что уравнение в частных производных удовлетворяет h-принципу, если любое неголономное решение может быть продеформировано в голономное в классе неголономных решений. Таким образом, при выполнении h-принципа, дифференциально-топологическая задача сводится к алгебраической и топологической задаче. Более конкретно это означает, что кроме топологических, нет других препятствий для существования голономных решений. Топологическая проблема поиска неголономных решений обычно намного проще.

Многие недоопределенные дифференциальные уравнения в частных производных удовлетворяют h-принципу.

Невыполнение h-принципа для определённого уравнения — тоже интересное утверждение, интуитивно это означает, что изучаемые объекты имеют нетривиальную геометрию, которая не может быть сведена к топологии. Примером служат лагранжевы вложения в симплектическое многообразие; они не удовлетворяют h-принципу, чтобы доказать это, используют инварианты на основе псевдо-голоморфных кривых.

Простейший пример

Рассмотрим автомобиль, движущийся в плоскости. Положение машины на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами $x$ и $y$ (например, пусть эти координаты задают положение средней точки между задними колёсами) и углом $\alpha$, который описывает ориентацию автомобиля. В движении автомобиль удовлетворяет уравнению

$\dot{x}\sin \alpha =\dot{y}\cos \alpha ,$

предполагая, что автомобиль двигается без заноса.

Неголономное решение в данном случае соответствует движению автомобиля за счет скольжения в плоскости. В этом случае неголономные решения не только гомотопны голономным, но также они сколь угодно хорошо аппроксимируются голономными (этого можно добиться движением взад-вперед, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) — обратите внимание, что при этом и положение и направление автомобиля аппроксимируются сколь угодно близко. Последнее свойство сильнее, чем общий h-принцип; оно называется $C^0$-плотный h-принцип.

Приложения

Здесь перечислены несколько контринтуитивных результатов, которые можно доказать применением h-принципа:

• Выворачивание конуса. Рассмотрим функцию f на R² без начала координат, $f(x)=|x|$. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство функций $f_t$ таких, что $f_0=f$, $f_1=-f$, и для любого $t$ градиент $f_t$ отличен от нуля в любой точке.
• Любое открытое многообразие допускает (не полную) риманову метрику положительной (или отрицательной) кривизны.
• Выворачивание сферы без складок или разрыва может быть проделано, используя только $C^1$ изометрические вложения сферы.
• Теорема Нэша о регулярных вложениях.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Н. Х. Кёйпер, О C¹-изометрических вложениях // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 17—28.
• Дж. Нэш, C¹-изометрические вложения // Математика 1957, том 1, номер 2, стр. 3—16.
• M. W. Hirsch, Immersions of manifold. Trans. Amer. Math. Soc. 93 (1959)
• S. Smale, The classification of immersions of spheres in Euclidean spaces. Ann. of Math(2) 69 (1959)
• David Spring, Convex integration theory - solutions to the h-principle in geometry and topology, Monographs in Mathematics 92, Birkhauser-Verlag, 1998