Теорема Нэша — Кёйпера

Шаблон:Значения Теорема Нэша — Кёйпера утверждает, что любое гладкое короткое вложение (или погружение) $n$ -мерного Риманова многообразия в Евклидово пространство $ℝ^{q}$ при $q > n$ можно аппроксимировать $C^{1}$ -гладким изометрическим вложением (или соответственно погружением).

Формулировка

Термин «изометрическое вложение/погружение» здесь означает соответственно вложение/погружение, которое сохраняет длины кривых.

Более точно: Шаблон:Рамка Пусть $(M, g)$ есть Риманово многообразие и $f : M^{n} \to ℝ^{q}$ есть короткое $C^{\infty}$ -гладкое вложение (или погружение) в Евклидово пространство $ℝ^{q}$ и $q > n$ . Тогда для любого $ε > 0$ существует вложение (или соответственно погружение) $f_{ε} : M^{n} \to ℝ^{q}$ такое, что

$f_{ε}$ является $C^{1}$ -гладким,
(изометричность) для любых двух касательных векторов $v, w \in T_{x} (M)$ в касательном пространстве точки $x \in M$ мы имеем:

g (v, w) = ⟨ d f_{ϵ} (v), d f_{ϵ} (w) ⟩ .

Шаблон:Конец рамки Этот результат является весьма контринтуитивным. В частности из него следует что любая замкнутая ориентированная поверхность может быть изометрично $C^{1}$ -вложена в произвольно малый трёхмерный шар. Из формулы Гаусса следует, что такое вложение невозможно в классе $C^{2}$ -вложений.

Теорема была доказана Нэшем в предположении $q > n + 1$ вместо $q > n$ и приведена к настоящему виду Кёйпером с помощью нехитрого трюка.

Теорема Нэша о регулярных вложениях
Теорема Громова о складках утверждает, что для любого короткого отображения из $n$ -мерного риманова многообразия в $ℝ^{n}$ существует сколь угодно близкое (негладкое) отображение, сохраняющее длины кривых.