Гамильтониан (квантовая механика)

Гамильтониа́н ($\hat{H}$ или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.

Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.

Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.

Уравнение Шрёдингера

Шаблон:Main Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если $|\psi (t)⟩$ — состояние системы в момент времени t, то

$\hat{H}|\psi (t)⟩=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\psi (t)⟩.$

Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то

$|\psi (t)⟩=e^{-iHt/\hslash }|\psi (0)⟩.$

Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.

По свойству *-гомоморфизма, оператор

$U=e^{-iHt/\hslash }$

унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.

Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.

Выражения для гамильтониана в координатном представлении

Свободная частица

Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}$

и для трёх измерений:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }$

Потенциальная яма

Для частицы в постоянном потенциале V = V₀ (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+V_0$

В трёх измерениях:

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V_0$

Простой гармонический осциллятор

Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как

$V=\frac{k}{2}{x}^2=\frac{m{\omega }^2}{2}{x}^2,$

где угловая частота $\omega$ коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению

${\omega }^2=\frac{k}{m},$

поэтому гамильтониан имеет вид

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{m{\omega }^2}{2}{x}^2.$

Для трёх измерений гамильтониан принимает вид

$\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+\frac{m{\omega }^2}{2}{r}^2,$

где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:

$r^2=𝐫\cdot 𝐫=|𝐫{|}^2=x^2+y^2+z^2$

Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:

$\begin{array}{c}\hat{H}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})+\frac{m{\omega }^2}{2}(x^2+y^2+z^2)\\ =(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{m{\omega }^2}{2}{x}^2)+(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{m{\omega }^2}{2}{y}^2)+(-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\frac{m{\omega }^2}{2}{z}^2)\\ \end{array}$

В квантовой теории поля

В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.

Ссылки

• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М.: Мир, 1990. — 720 c.
• Дирак П. Принципы квантовой механики. 2-е изд. М.: Наука, 1979. — 480 с.
• Шаблон:Книга