Грушевидная квартика

Пять форм грушевидной квартики $x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2.$ Из них фиолетовая - волчок, красная — квартика Бонне, синяя — с тройной вершиной

Грушеви́дная кварти́ка (Шаблон:Lang-enШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, от лат. pirum — плод грушиШаблон:SfnШаблон:Sfn и лат. quartus — четвёртыйШаблон:Sfn; Шаблон:Lang-en) — антигиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсеШаблон:Sfn.

В декартовых координатах грушевидная квартика — это антигиперболизм окружности

$(x-a{)}^2+y^2=a^2$

с радиусом $a$ и полюсом в начале координат на окружности и прямой $x=b$, имеющий следующее уравнениеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$(x-a{)}^2+{\left(b\frac{y}{x}\right)}^2=a^2,$

или

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2;$

или

$y=\pm \frac{x}{b}\sqrt{2ax-x^2}.$

Полагают, что $a\ne 0$ и $b\ne 0$:

• при $a=0$ грушевидная квартика вырождается в точку $(0,0);$
• при $b=0$ грушевидная квартика вырождается в две прямые $x=0$ и $x=2a.$

Относится к плоским алгебраически кривым 4-го порядкаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Грушевидная квартика — это кривая, обладающая следующими простыми свойствамиШаблон:Sfn:

• ограниченная и замкнутая;
• связная;
• имеет одну особую точку — касп;
• имеет одну ось симметрии.

Базовая окружность есть гиперболизм грушевидной квартикиШаблон:Sfn.

Грушевидную квартику изучали английский математик Джон Валлис в 1685 году, французский математик Пьер Бонне в 1844 годуШаблон:Sfn и французский математик Шаблон:Iw в 1886 годуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Определения грушевидной квартики

Определение и уравнение

Грушеви́дная кварти́ка (Шаблон:Lang-en) — антигиперболизм окружности $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ радиуса $a$ с началом координат на окружности и прямой $x=b$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координатШаблон:Sfn, определяется следующим уравнением в декартовых координатахШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2$

или

$y=\pm \frac{x}{b}\sqrt{2ax-x^2}.$

Синонимы:

• капля (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn;
• колышек (Шаблон:Lang-en)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Грушевидная квартика — это кривая, обладающая следующими простыми свойствамиШаблон:Sfn:

• ограниченная и замкнутая;
• связная;
• имеет одну особую точку — касп;
• имеет одну ось симметрии.

Приведённое выше уравнение грушевидной квартики в декартовой системе координат

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2$

(с площадью $S=\frac{\pi a^3}{b}$ области, ограниченной грушевидной квартикойШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn) может быть записано по-другому:

• в виде следующего канонического уравнения эллипсаШаблон:Sfn:

$\frac{(x-a{)}^2}{a^2}+\frac{y^2}{x^2}=1$

или

$\frac{(x-b{)}^2}{b^2}+\frac{y^2}{x^2}=1,$

где $a=b$ (и площадью $S=\pi a^2$ кривой);

• в сокращённой формеШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x^4-d{x}^3=-b^2{y}^2,$

где $d=2a$ — диаметр базовой окружности антигиперболизма (и площадь $S=\frac{\pi d}{8b}$ кривой);

• в очень сокращённой формеШаблон:Sfn:

$x^4-x^3=-y^2,$

где $2a=b=1$ (и площадь $S=\frac{\pi }{8}$ кривой);

• с изменённым параметром $b=\frac{a^2}{p}$ (и площадью $S=\pi ap$ кривой, которая совпадает с площадью эллипса с полуосями $a$ и $p$Шаблон:Sfn), теперь параметр $a$ масштабирует кривую вдоль оси симметрииШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$p^2{x}^3(2a-x)=a^4{y}^2.$

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют горизонтальную ось симметрии (совпадающую с оью абсцисс) и касп, расположенный слева при $a>0.$ Но касп можно расположить на графике и справа, записав уравнение грушевидной квартики в следующей форме при $a>0:$

$x^4+2a{x}^3=-b^2{y}^2.$

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью абсцисс. У следующих уравнений ось симметрии грушевидной квартики совпадает с осью ординатШаблон:Sfn:

• касп расположен внизу при $a>0$:

$y^4-2a{y}^3=-b^2{x}^2;$

• касп расположен вверху при $a>0$:

$y^4+2a{y}^3=-b^2{x}^2.$

Частные случаи

Шаблон:Якорь Антиверзиера — частный случай грушевидной квартики при $b=2a$ со следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-4a^2{y}^2.$

При обобщении антиверзиеры до грушевидной квартики её уравнение записывают в следующем видеШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-4\frac{a^4}{b^2}{y}^2.$

Шаблон:ЯкорьШаблон:Якорь Волчок, или юла — частный случай грушевидной квартики при $b=a$ со следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-a^{2}4y^2.$

Шаблон:Якорь Жемчужная кривая четвёртого порядка — название двух разных кривых, одна из которых — частный случай грушевидной квартики при $b=2a,$ со следующими уравнениямиШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-4a^2{y}^2,$

$x^4-2a{x}^3=-y^4.$

Жемчужная кривая четвёртого порядка обычно имеет форму с осью симметрии, параллельной оси ординатШаблон:Sfn:

$y^4-2a{y}^3=-4a^2{x}^2,$

$y^4-2a{y}^3=-x^4.$

Шаблон:Якорь Квартика Бонне — частный случай грушевидной квартики при $b=2a$ со следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-4a^2{y}^2.$

Вывод уравнения и геометрическое построение

Получить грушевидную квартику $F(X,Y)$ путём антигиперболизма $Y=\frac{xy}{b},$ $X=x$ базовой окружности $(x-a{)}^2+y^2=a^2$ радиуса $a$ с началом координат на этой окружности и базовой прямой $x=b$, перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координатШаблон:Sfn можно двумя способами:

• исходя из уравнения базовой окружности:

$(x-a{)}^2+y^2=a^2,$

$(x-a{)}^2+{\left(\frac{bY}{x}\right)}^2=a^2,$

$X^4-2a{X}^3=-b^2{Y}^2;$

• исходя из преобразования антигиперболизма:

$Y=\frac{xy}{b},$

$Y^2=\frac{x^2}{b^2}{y}^2,$

$b^2{Y}^2=x^2(a^2-(x-a{)}^2),$

$X^4-2a{X}^3=-b^2{Y}^2.$

Получаем, что преобразование антигиперболизма окружности:

• сохраняет абсциссу $x;$
• изменяет ординату $y$ пропорционально абсциссе и ординате с постоянным коэффициентом $\frac{1}{b}.$

Геометрическое построение красной точки грушевидной квартики

Выясним роль базовых окружности и прямой, построив грушевидную квартику геометрически (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• выберем внутри диаметра базовой окружности произвольную точку с абсциссой $x^{\prime }$, которая будет также и абсциссой грушевидной квартики;
• проведём прямую $x=x^{\prime }$, которая пересечётся с базовой окружностью в точке $P^{″}=(x^{\prime },y^{\prime }),$ на которой будет расположена точка грушевидной квартики;
• проведём базовую прямую $x=b$;
• проведём прямую $y=y^{\prime }$, которая пересечётся с базовой прямой $x=b$ в точке $P^{\prime }=(b,y^{\prime })$;
• проведём прямую через начало координат и точку $P^{\prime }$, которая пересечётся с прямой $x=x^{\prime }$ в точке $P$ — точке грушевидной квартики.

Получим уравнение грушевидной квартики в декартовых координатах, исходя из её геометрического построенияШаблон:Sfn:

• пусть уравнение прямой $(P^{\prime },P)$ есть

$y=mx$,

где $m$ — некоторый угловой коэффициент, тогда декартовы координаты точки грушевидной квартики будут

$(x^{\prime },m{x}^{\prime })=(x^{\prime },y^{\prime });$

• координата точки $P^{\prime }$ будет $(b,mb),$ а точки $P^{″}$ — $(x^{\prime },mb);$
• поскольку точка $P^{″}$ лежит на базовой окружности, то

$m^2{b}^2=-x{\text{'}}^2+2a{x}^{\prime }$

$b^{2}y{\text{'}}^2=b^2{m}^{2}x{\text{'}}^2=-x{\text{'}}^4+2ax{\text{'}}^3,$

а поскольку $x^{\prime }$ — произвольная точка, окончательно получаем уравнение грушевидной квартики в виде

$X^4-2a{X}^3=-b^2{Y}^2.$

Из подобных треугольников 0x'P и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования антигиперболизма, которое зависит только от базовой прямой $x=b$ и не зависит от базовой кривойШаблон:Sfn:

$\frac{Y^{\prime }}{y^{\prime }}=\frac{x^{\prime }}{b},$ $X^{\prime }=x^{\prime },$

$Y=\frac{xy}{b},$ $X=x.$

Базовая окружность есть гиперболизм грушевидной квартикиШаблон:Sfn.

Уравнение в других координатных системах

Для перевода уравнения кривой из декартовой $(x,y)$ в полярную систему координат $(r,\phi )$ (и обратно) используют соотношения

$x=r\cos \phi ,$ $y=r\sin \phi ,$ $x^2+y^2=r^2,$

поэтому полярное уравнение грушевидной квартики будет следующимШаблон:Sfn:

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2,$

$(r\cos \phi {)}^4-2a(r\cos \phi {)}^3=-b^2(r\sin \phi {)}^2,$

$b^2{\sin }^2\phi +r^2{\cos }^4\phi -2ar{\cos }^3\phi =0.$

В параметрическом виде уравнение грушевидной квартики на вещественной декартовой плоскости

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2$

может быть такимШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x=a(1+\sin t),$

$by=a^2(1+\sin t)\cos t,$

где $t=\frac{\pi }{2}-2\phi ,$

или такимШаблон:Sfn:

$x=2a{\cos }^{2}t=a(1+\cos u),$

$by=4a^2{\cos }^{3}t\sin t=\frac{a^2}{2}(\sin 2u+2\sin u),$

где $2t=2\phi =u.$

Виды грушевидных квартик

В этом разделе грушевидные квартики определяются уравнением

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2.$

Пересечение с осями и экстремумы

Отмечены касп, правая вершина и точки максимума и минимума

Произвольная грушевидная квартика пересекается с осями декартовых координат в следующих точках (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn:

• с осью абсцисс $x=0$ в точках $(0,0)$ и $(2a,0);$
• с осью ординат $y=0$ в точке $(0,0);$
• в точке $(0,0)$ находится касп грушевидной квартики с касательной $y=0$ — осью абсциссШаблон:Sfn;
• в точке $(2a,0)$ на оси симметрии находится вершина грушевидной квартикиШаблон:Sfn;

Декартовы координаты точек произвольной грушевидной квартики ограничены следующими неравенствами (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:Sfn:

• $0⩽x⩽2a,$ крайняя левая точка $(0,0)$ и крайняя правая $(2a,0);$
• $-\frac{a^2}{4b}3\sqrt{3}⩽y⩽\frac{a^2}{4b}3\sqrt{3},$ минимум кривой $(\frac{3}{2}a,-\frac{a^2}{4b}3\sqrt{3})$ и максимум $(\frac{3}{2}a,\frac{a^2}{4b}3\sqrt{3});$
• экстремальные точки грушевидной квартики лежат на прямой $x=\frac{3}{4}a,$ их иногда неправильно называют вершинамиШаблон:Sfn.

Точки перегиба

Отмечены касп, правая вершина и точки перегиба

Вычислим вторую производную функции, задающей грушевидную квартикуШаблон:Sfn:

$y=\frac{x\sqrt{x}}{b}\sqrt{2a-x},$

$\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x}}{b}\frac{3a-2x}{\sqrt{2a-x}},$

$\frac{d^{2}y}{d^{2}x}=\frac{2x^2-6ax+3a^2}{b\sqrt{x}{\left(\sqrt{2a-x}\right)}^3}=$

$=\frac{a(3a-2x)-2x(2a-x)}{b\sqrt{x}{\left(\sqrt{2a-x}\right)}^3}.$

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующей системы уравнений:

$\{\begin{array}{c}\frac{d^{2}y}{d^{2}x}=0,\\ 0⩽x⩽2a.\end{array}$

Получаем следующие точки перегиба грушевидной квартики (см. рисунок справа):

$(a\frac{3-\sqrt{3}}{2},\frac{a^2}{2b}\sqrt{6\sqrt{3}-9}),$

лежащие на прямой $x=a\frac{3-\sqrt{3}}{2}.$

Пересечение с базовой окружностью

Отмечены точки пересечения квартик с базовой окружностью

Грушевидная квартика

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2;$

всегда пересекается с базовой окружностью

$(x-a{)}^2+y^2=a^2$

в двух точках:

• на каспе $(0,0),$
• в вершине $(2a,0),$

и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения базовой прямой с базовой окружностью.

В итоге грушевидные квартики по точкам пересечения с базовой окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

• при $0<b<2a$ имеем четыре точки пересечения: $(0,0),$ $(2a,0)$ и $(b,\pm \sqrt{2ab-b^2});$
• для пограничной квартики Бонне с $b=2a$ две предыдущие точки пересечения $(b,\pm \sqrt{2ab-b^2})$ сливаются с точкой $(2a,0),$ остаются две точки пересечения: $(0,0)$ и «тройная» $(2a,0);$
• при $b>2a$ имеем две обычные точки пересечения: $(0,0)$ и $(2a,0).$

Кривизна и вершины

Показаны графики соответствующих функций ориентированной кривизны, отмечены их экстремальные точки и показана кривая, на которой лежат эти точки

Грушевидная квартика

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2$

всегда пересекается со своей осью симметрии

$y=0$

в двух вершинах в силу этой симметрии:

• на каспе $(0,0)$ — бывшей вершине,
• в вершине $(2a,0),$

и, кроме того, может иметь ещё две вершины в точках, определяемых при помощи кривизны грушевидной квартики

$\kappa (x)=\frac{|y^{″}|}{(\sqrt{1+y{\text{'}}^2}{)}^3},$

а именно: в точках, в которых первая производная её кривизны, или ориентированной кривизны

${\kappa }_o(x)=\frac{y^{″}}{(\sqrt{1+y{\text{'}}^2}{)}^3},$

равна нулю (см. графики функций кривизны на рисунке справа)Шаблон:Sfn:

$\frac{d{\kappa }_o(x)}{dx}=\frac{d}{dx}\frac{y^{″}}{(\sqrt{1+y{\text{'}}^2}{)}^3}=$

$=\frac{d}{dx}\frac{b^2(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{\sqrt{x}{\left(\sqrt{x(3a-2x{)}^2+b^2(2a-x)}\right)}^3}=0.$

Введём новые переменные — блоки:

$p(x)=2a-x,$ $p^{\prime }(x)=-1,$

$q(x)=3a-2x,$ $q^{\prime }(x)=-2,$

$r(x)=2x^2-6ax+3a^2,$ $r^{\prime }(x)=-2q(x),$

тогда

$y=\frac{x^{3/2}}{b}\sqrt{p},$ $y^{\prime }=\frac{\sqrt{x}}{b}\frac{q}{\sqrt{p}},$ $y^{″}=\frac{1}{b\sqrt{x}}\frac{r}{p^{3/2}},$

$y^{‴}=\frac{-3a^3}{b{x}^{3/2}{p}^{5/2}},$ $1+y{\text{'}}^2=\frac{b^{2}p+q^{2}x}{b^{2}p},$

и блочное уравнение производной ориентированной кривизны будет иметь следующий вид:

${{\kappa }_o}^{\prime }(x)={\left(\frac{y^{″}}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}\right)}^{\prime }=$

$=\frac{y^{‴}}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{3/2}}-\frac{3y^{\prime }{y}^{\prime }{\text{'}}^2}{(1+y{\text{'}}^2{)}^{5/2}}=$

$=\frac{-3a^3(b^{2}p+q^{2}x)}{b^3{x}^{3/2}{p}^{7/2}(1+y{\text{'}}^2{)}^{5/2}}-\frac{3q\sqrt{x}{r}^2}{b^3{p}^{7/2}x(1+y{\text{'}}^2{)}^{5/2}}=$

$=-3\frac{a^3(b^{2}p+q^{2}x)+q{r}^{2}x}{b^3{x}^{3/2}{p}^{7/2}(1+y{\text{'}}^2{)}^{5/2}}=$

$=-3\frac{(a^3(b^{2}p+q^{2}x)+q{r}^{2}x)(b^{2}p{)}^{5/2}}{b^3{x}^{3/2}{p}^{7/2}(b^{2}p+q^{2}x{)}^{5/2}}=$

$=-3\frac{(a^3{b}^{2}p+a^3{q}^{2}x+q{r}^{2}x)b^2}{p{x}^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x{)}^{5/2}}.$

После упрощения:

${{\kappa }_o}^{\prime }(x)=-3\frac{(a^3{b}^2+2qx(3a^3-x{p}^2))b^2}{x^{3/2}(b^{2}p+q^{2}x{)}^{5/2}}.$

Вершины грушевидных квартик могут быть в точках, в которых первая производная их ориентированной кривизны равна нулю:

${{\kappa }_o}^{\prime }(x)=0,$

то есть в точках

$a^3{b}^2+2qx(3a^3-x{p}^2)=0.$

Отсюда получаем значения $b_{vertex},$ которые соответствуют вершинам грушевидных квартик:

$b_{vertex}^2=\frac{2qx(x{p}^2-3a^3)}{a^3}=0,$

а также:

• из уравнения функции ориентированной кривизны

${\kappa }_o(x)=\frac{b^2(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{\sqrt{x}{\left(\sqrt{x(3a-2x{)}^2+b^2(2a-x)}\right)}^3}=0$

получаем уравнение кривой, на которой лежат точки экстремума функций ориентированной кривизны (см. рисунок справа вверху)

${\kappa }_o(x)=\frac{b_{vertex}^2(a(3a-2x)-2x(2a-x))}{\sqrt{x}{\left(\sqrt{x(3a-2x{)}^2+b_{vertex}^2(2a-x)}\right)}^3}=0,$

Показана кривая, на которой лежат вершины грушевидных квартик, и отмечены эти вершины

Показаны графики соответствующих функций кривизны и их экстремальные точки с кривой, на которой они лежат, а также показаны вершины квартик с.кривой, на которой они лежат

а из уравнения грушевидной квартики

$x^4-2a{x}^3=-b^2{y}^2$

получаем уравнение кривой. на которой лежат вершины грушевидных квартик (см. рисунок справа)

$x^4-2a{x}^3=-b_{vertex}^2{y}^2.$

Деление на виды грушевидных квартик по вершинам основано на двух грушевидных квартиках, которые существенно отличаются от остальных:

• грушевидная квартика с $b\approx 3,46a$, у которой вместо трёх вершин справа — одна вершина, три вершины слились в одну (см. рисунки справа и справа вверху);
• грушевидная квартика с $b\approx 2,45a$, у которой экстремальная кривизна минимальна из всех экстремальных кривизн грушевидных квартик (см. рисунок справа).

В итоге грушевидные квартики по вершинам делятся на пять вида (см. рисунок справа):

1) при $0<b⪅2,45a$ имеем касп и три вершины, а также не минимальную экстремальную кривизну;

2) пограничная квартика с $b\approx 2,45a$ имеет касп и три вершины, а также минимальную экстремальную кривизну;

3) при $2,45a⪅b⪅3,46a$ имеем то же, что и при 1);

4) пограничная квартика с $b\approx 3,46a$ имеет касп и одну тройную вершину, а также не минимальную экстремальную кривизну;

5) при $3,46a⪅b$ имеем то же, что и при 4).

Обобщения грушевидной квартики

Грушевидная квартика обобщается в двух направлениях произвольными степенями переменных:

• как замкнутая кривая — жемчужная кривая (Шаблон:Lang-en) со следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$x^s(2a-x{)}^r=b^p{y}^p,$

где $a>0,$ $p=2n,$ $s=2m-1,$ $r=2l-1,$ $n,m,l\in \mathbb{N}.$ Грушевидная квартика получается при $p=2,$ $s=3,$ и $r=1.$

• как каплевидная кривая — оторвавшаяся капля (Шаблон:Lang-en) со следующим уравнениемШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$x^s(2a-x{)}^r=b^2{y}^2.$ Грушевидная квартика получается при $s=3,$ и $r=1.$

• как обобщение двух предыдущих случаев — жемчужины Слюза (Шаблон:Lang-en) со следующим уравнениемШаблон:Sfn:

$x^s(2a-x{)}^r=b^p{y}^p,$

с любыми параметрами. Грушевидная квартика получается при $p=2,$ $s=3,$ и $r=1.$

• Обобщения грушевидной квартики
• 
  Жемчужные кривые, в том числе грушевидная квартика
• 
  Оторвавшиеся капли, в том числе грушевидная квартика
• 
  Жемчужины Слюза, в том числе грушевидная квартика

Как антигиперболизм окружности грушевидная квартика обобщается произвольным расположением полюса вне окружности. В этом случае возникают две ветви антигиперболизма окружности.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H