Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение

Преобразования

$Q_i=Q_i(q_1,\dots ,q_s,p_1,\dots ,p_s,t),$

$P_i=P_i(q_1,\dots ,q_s,p_1,\dots ,p_s,t),$

$i=1,\dots ,s,$, где $s$ — число степеней свободы,

$\frac{\partial (Q_1,\dots ,Q_s;P_1,\dots ,P_s)}{\partial (q_1,\dots ,q_s;p_1,\dots ,p_s)}\ne 0,$

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $H$:

${\dot{p}}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},$

${\dot{q}}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},$

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $\mathscr{H}$:

${\dot{P}}_i=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial Q_i},$

${\dot{Q}}_i=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial P_i}.$

Переменные $Q_i$ и $P_i$ называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а $q_i$ и $p_i$ — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

$\sum _{i=1}^s{P}_{i}d{Q}_i-\mathscr{H}dt-c(\sum _{i=1}^s{p}_{i}d{q}_i-Hdt)=-dF,$

где постоянную $c\ne 0$ называют валентностью канонического преобразования, $dF$ — полный дифференциал некоторой функции $F(q_1,\dots ,q_s,p_1,\dots ,p_s,t)$ (предполагается, что $P_i$ и $Q_i$ также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых $c=1$ называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные $c$ изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных $p_i,q_i,Q_i,P_i$, причём выбор независим для каждого $i=1,\cdots ,s$. Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого $i$ одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции $F$ имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_1(q,Q,t)$. При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции $F$. Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех $i$ возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

$F_1(q,Q,t),F_2(q,P,t),F_3(p,Q,t),F_4(p,P,t),$

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов $q=(q_1,\cdots ,q_2)$ $p=(p_1,\cdots ,p_2)$, аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа

Пусть $F_1(q,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$\det \left(\frac{{\partial }^2{F}_1}{\partial q\partial Q}\right)\ne 0,$

кроме того, задано некоторое число $c\ne 0$, тогда пара $(F_1,c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$p=\frac{1}{c}\frac{\partial F_1}{\partial q},$

$P=-\frac{\partial F_1}{\partial Q},$

$\mathscr{H}=cH+\frac{\partial F_1}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_1(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial Q}{\partial p}\right)\ne 0.$

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа

Пусть $F_2(q,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

$\det \left(\frac{{\partial }^2{F}_2}{\partial q\partial P}\right)\ne 0.$

кроме того, задано некоторое число $c\ne 0$, тогда пара $(F_2,c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$p=\frac{1}{c}\frac{\partial F_2}{\partial q},$

$Q=\frac{\partial F_2}{\partial P},$

$\mathscr{H}=cH+\frac{\partial F_2}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_2(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial P}{\partial p}\right)\ne 0.$

Производящая функция 3-го типа

Пусть $F_3(p,Q,t)$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

$\det \left(\frac{{\partial }^2{F}_3}{\partial p\partial Q}\right)\ne 0.$

кроме того, задано некоторое число $c\ne 0$, тогда пара $(F_3,c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$q=-\frac{1}{c}\frac{\partial F_3}{\partial p},$

$P=-\frac{\partial F_3}{\partial Q},$

$\mathscr{H}=cH+\frac{\partial F_3}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_3(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial Q}{\partial q}\right)\ne 0.$

Производящая функция 4-го типа

Пусть $F_4(p,P,t)$ — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

$\det \left(\frac{{\partial }^2{F}_4}{\partial p\partial P}\right)\ne 0.$

кроме того, задано некоторое число $c\ne 0$, тогда пара $(F_4,c)$ задаёт каноническое преобразование по правилу

$q=-\frac{1}{c}\frac{\partial F_4}{\partial p},$

$Q=\frac{\partial F_4}{\partial P},$

$\mathscr{H}=cH+\frac{\partial F_4}{\partial t}.$

Связь с исходной производящей функцией:

$F_4(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).$

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$\det \left(\frac{\partial P}{\partial q}\right)\ne 0.$

Примеры

1. Тождественное преобразование

$Q=q,$

$P=p,$

$\mathscr{H}=H$

может быть получено при:

$F_2=qP,c=1.$

2. Если задать

$F_1=-\beta qQ,c=-\alpha \beta ,$

то полученное преобразование будет иметь вид:

$Q=\alpha p,$

$P=\beta q.$

$\mathscr{H}=-\alpha \beta H$

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

$Q=-q,$

$P=-p,$

$\mathscr{H}=H$

может быть получено при:

$F_2=-qP,c=1.$

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

$F_2=\phi (q,t)P,c=1,$

тогда

$Q=\phi (q,t).$

В частности, если

$F_2=(Aq,P),c=1,$

где $A,$ — ортогональная матрица:

$A^{T}A=E,$

то

$Q=Aq,$

$P=A^{T}p.$

К точечным преобразования приводит и функция:

$F_3=\varphi (Q,t)p,c=1,$

тогда

$q=-\varphi (Q,t).$

В частности функция

$F_3=-p_x\rho \cos \phi -p_y\rho \sin \varphi -p_{z}z,c=1,$

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных $(p,q)$ системы с одной степенью свободы:

$Q=\alpha q+\beta p$

$P=\gamma q+\delta p$

является унивалентным каноническим преобразованием при

$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$

производящая функция:

$F=-\beta \gamma pq-\frac{1}{2}\alpha \gamma q^2-\frac{1}{2}\beta \delta p^2.$

Такие преобразования образуют специальную линейную группу $SL(2,ℝ)$.

Действие как производящая функция

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

$𝒮=\int pdq-Hdt$

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

$\{P_i(q,p,t),P_k(q,p,t)\}=0,$

$\{Q_i(q,p,t),Q_k(q,p,t)\}=0,$

$\{Q_i(q,p,t),P_k(q,p,t)\}=c{\delta }_{ik}.$

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций $f(Q,P,t)$ и $g(Q,P,t)$ условия:

$\{f,g{\}}_{pq}=c\{f,g{\}}_{PQ},$

где под $\{\cdot ,\cdot {\}}_{pq}$ и $\{\cdot ,\cdot {\}}_{PQ}$ понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

$\{f,g{\}}_{pq}=\{f,g{\}}_{PQ}$

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

$[p_i,p_k]=0,$

$[q_i,q_k]=0,$

$[q_i,p_k]=c{\delta }_{ik}.$

Литература

• Шаблон:Книга
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Шаблон:Книга Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Шаблон:Книга.
• Шаблон:Книга.