Лебрюн, Клод

Шаблон:Однофамильцы Шаблон:Учёный Клод Лебрю́н (Шаблон:Lang-en, род. 26 ноября 1956 года в Далласе, штат Техас) — североамериканский геометр, специалист в комплексной и дифференциальной геометрии, в первую очередь, четырёхмерных многообразий, а также теории относительности. Профессор Университета штата Нью-Йорк в Стони-Бруке.

Биография

Выпускник Хансен-колледжа университета Райса (1977), учился в аспирантуре в Оксфорде под руководством Роджера Пенроуза, и в 1980 году защитил диссертацию «Spaces of Complex Geodesics and Related Structures», после чего получил место в Стони-Бруке.

В 1994 году был приглашённым докладчиком на Международном математическом конгрессе в Цюрихе, тема доклада — «Anti-self-dual metrics and Kähler geometry». В 2012 году был избран членом Американского математического сообщества. В 2016 году 60-летний юбилей Лебрюна был отмечен конференцией в Монреале. В 2018 году Лебрюн получил премию фонда Саймонса, а в 2020 году был произведён в выдающиеся профессоры (Шаблон:Lang-en) Стони-Брукского университета.

Диссертация

Диссертация Лебрюна углубляет труды его великого учителя в области теории твисторов. Именно, он рассматривает $n$-мерные комплексные многообразия, снабжённые голоморфной проективной связностью; локальные геодезические относительно такой связности допускают параметризацию $(2n-2)$-мерным комплексным многообразием. Каждая точка изначального многообразия определяет подмногообразие $ℂ{𝐏}^{n-1}$ в пространстве геодезических, поскольку каждое комплексное касательное направление в точке допускает единственную геодезическую, касательной к которой оно является. Голоморфная проективная связность на изначальном многообразии может быть восстановлена по этой сетке подмногообразий в пространстве геодезических, а малые деформации комплексной структуры на нём соответствуют малым вариациям проективной связности. Для тривиального случая проективной плоскости $ℂ{𝐏}^2$ геодезические это проективные прямые, а параметризует их двойстванная проективная плоскость; тем самым диссертацию Лебрюна можно воспринимать как далеко идущее обобщение проективной двойственности.

Аналогичный результат был получен Лебрюном для комплексного многообразия с конформной связностью, сиречь голоморфной конформной структурой (или же полем квадратичных конусов) вкупе с тензором кручения, и пространства локальных изотропных геодезических на нём (то есть геодезических, касающихся этого поля конусов — иначе они называются светоподобными или нуль-геодезическими). В случае зануления тензора кручения, как было доказано Лебрюном, пространство изотропных геодезических допускает голоморфную контактную структуру, и обратно — наличие голоморфной контактной структуры на пространстве изотропных геодезических вынуждает кручение конформной структуры на изначальном пространстве обращаться в нуль. Этот результат имеет место только в случае, когда размерность комплексного многообразия 4 или выше; для трёхмерных многообразий Лебрюн построил каноническое вложение в четырёхмерное многообразие с конформной связностью, кривизна которой самодвойственна, при котором кручение изначальной структуры выражается через форму внешней кривизны этого вложения.

КР-твисторы трёхмерных многообразий

в Калифорнии в 1982 году, из архива Джорджа Бергмана

В 1984 году в Trans. Am. Math. Soc. была напечатана статья Лебрюна Twistor CR Manifolds and Three-Dimensional Conformal Geometry, в которой он распространил твисторную теорию также на вещественные трёхмерные многообразия с конформной структурой — то есть такие, на которых можно говорить о взаимной перпендикулярности векторов, но не их абсолютной длине (если вообразить, что времени нет, таковым, в сущности, является наше трёхмерное пространство: единица длины выбирается нами весьма произвольно, и до известной степени то, что единицу длины на Земле и единицу длины на Плутоне вообще можно осмысленно сравнивать, есть акт веры). Ему в соответствие ставится вещественно пятимерное многообразие с КР-структурой, то есть четырёхмерным контактным распределением, снабжённым полем операторов поворота на 90°, превращающим его в двумерное комплексное распределение, и к тому же удовлетворяющему условию интегрируемости, и семейством голоморфных рациональных кривых, касающихся этого комплексного распределения. Условие интегрируемости сводится к тому, что на уровне рядов Тейлора пятимерное многообразие в каждой точке можно воплотить как ряд Тейлора вещественной гиперповерхности в ${ℂ}^3$ такой, что контактное подпространство будет в точности комплексно двумерной плоскостью, лежащей в вещественно пятимерном касательном пространстве к гиперповерхности, а оператор поворота на 90° будет в точности оператором умножения векторов в ${ℂ}^3$ на $\sqrt{-1}$. Обратно, по пятимерному КР-многообразию с семейством рациональных кривых изначальное трёхмерное многообразие с конформной структурой восстанавливается однозначно.

Заметим, что существование подлинных локальных карт со значениями в ${ℂ}^3$ на твисторах Лебрюна автоматически влекло бы аналитичность функций переклейки (в силу аналитичности комплексно дифференцируемых отображений), и следовательно наличие на изначальном трёхмерном многообразии аналитической структуры.

Лебрюн получил эту структуру хитроумной геометрической конструкцией, из которой интегрируемость этой КР-структуры была очевидна (а именно рассмотрев вектора в комплексификации кокасательного расслоения, изотропные относительно конформной структуры). Миша Вербицкий дал гораздо более простое описание КР-твисторов Лебрюна. Именно, если зафиксировать риманову метрику, определяющую конформную структуру на трёхмерном многообразии $X$, то КР-твисторы Лебрюна можно отождествить с тотальным пространством $UTX$ расслоением касательных векторов единичной длины. Касательное расслоение к $UTX$ раскладывается при помощи связности Леви-Чивиты в ортогональную прямую сумму $T(UTX)=Ver\oplus Hor$, где $Ve{r}_{v,x}=T_v(U{T}_x)$ — касательное пространство к единичной сфере в $T_{x}X$, а $Ho{r}_{v,x}$ изоморфно проецируется на $T_{x}X$. Контактная плоскость в точке $(v,x)$ (где $v\in T_x$ — единичный вектор) задаётся как линейная оболочка $Ve{r}_{v,x}$ и перпендикулярного подпространства $v^{\perp }\subset T_x\cong Ho{r}_{v,x}$, а оператор поворота на 90° — как стандартная комплексная структура на сфере Римана по вертикали и как векторное умножение на $v$ по горизонтали (то есть в пределах $v^{\perp }$; напомним, что в размерности три задать евклидову структуру это всё равно что задать векторное произведение).

Отсюда, например, можно вывести явное описание твисторов Лебрюна для круглой сферы $S^3$. Именно, реализуем её как экваториальную сферу в $S^4$. Единичный касательный вектор $e\in T_x{S}^3$ к $S^3$ в точке $x\in S^3$ можно воспринять как пару перпендикулярных единичных векторов $\{e,n\}\in T_x{S}^4$, где $n_x$ — единичная нормаль к $S^3\subset S^4$ в точке $x$. Они задают ортогональную комплексную структуру на пространстве $T_x{S}^4$, определённую условием $I(n)=e$. Обратно, всякая ортогональная комплексная структура на $T_x{S}^4$ определяет единичный касательный вектор к $S^3$ как образ единичной нормали под поворота на 90°. Расслоение над $S^4$, вешающее над каждой точкой круглой сферы множество ортогональных комплексных структур на касательном пространстве к ней — это классические твисторы, твисторное пространство в данном случае биголоморфно $ℂ{𝐏}^3$, а проекция на $S^4$ есть кватернионное расслоение Хопфа $ℂ{𝐏}^3={𝐏}_{ℂ}({ℂ}^4)\cong {𝐏}_{ℂ}({ℍ}^2)\mapsto {𝐏}_{ℍ}({ℍ}^2)=ℍ{𝐏}^1\cong S^4$. Соответственно, твисторы Лебрюна круглой сферы суть прообраз экваториальной $S^3$ при расслоении Хопфа, и тем самым вещественная гиперповерхность в $ℂ{𝐏}^3$, граница трубчатой окрестности нормального расслоения к проективной прямой $ℂ{𝐏}^1\subset ℂ{𝐏}^3$.

Определение Вербицкого хорошо тем, что оно переносится на другой важный случай, когда на римановом многообразии имеется поле векторных произведений — а именно ${\mathrm{G}}_2$-многообразия; кроме того, оно позволяет определить гауссово отображение в абстрактной ситуации поверхности, лежащей в трёхмерном многообразии (сопоставляя точке поверхности единичную нормаль в ней). Однако из этого определения неочевидна ни интегрируемость этой твисторной структуры, ни даже её конформная инвариантность. Последняя может быть доказана, впрочем, изящным вычислением; из него в частности следует, что гауссово отображение поверхности в твисторы Лебрюна является голоморфным тогда и только тогда, когда эта поверхность вполне умбилична. В частности, из конформной инвариантности КР-структуры на твисторах Лебрюна следует, что конформные преобразования переводят вполне умбилические поверхности во вполне убмилические. Поскольку в ${ℝ}^3$ таковыми являются только сферы и плоскости, отсюда следует классическая теорема Лиувилля о конформных отображениях. Условие голоморфности гауссова отображения для умбилических поверхностей может быть взято за определение КР-структуры на твисторах Лебрюна. Для сравнения, если бы мы требовали голоморфности гауссова отображения для минимальных поверхностей, мы бы пришли к твисторам Илса — Саламона, отличающихся от твисторов Лебрюна тем, что поворот на 90° в горизонтальном направлении у них берётся с обратным знаком. Поскольку в общем римановом многообразии даже локальные умбилические поверхности редки, а минимальные напротив представлены в изобилии, на твисторах Илса — Саламона имеется много голоморфных кривых; в то же время почти КР-структура на них никогда не интегрируема, что означает отсутствие даже локальных голоморфных функций — каковые, напротив, на твисторах Лебрюна представлены в изобилии в силу локальной КР-голоморфной вложимости их в ${ℂ}^3$.

Твисторы Лебрюна были использованы Лемпертом для доказательства формальной интегрируемости комплексной структуры на пространстве узлов в трёхмерном многообразии с конформной структурой.

Ортогональные комплексные структуры на 6-мерной сфере

Размерности два и шесть — единственные, в которых существование почти комплексной структуры на сфере не запрещено из соображений топологии. В размерности два это просто комплексная структура на рациональной кривой; в размерности шесть существует почти комплексная структура, получающаяся из векторного умножения на единичную нормаль к круглой сфере $S^6\subset {ℝ}^7$ (впрочем, так же описывается и комплексная структура на $S^2\subset {ℝ}^3$). Однако вопрос существования интегрируемой комплексной структуры — то есть локально биголоморфной шару в ${ℂ}^3$ — весьма туманен. В статье 1987 года Orthogonal Complex Structures on $S^6$ Лебрюн показал, что такая структура не может быть ортогональной в стандартной круглой метрике на $S^6$. Он рассмотрел отображение, сопоставляющее комплексной структуре во всякой точке её собственное подпространство с собственным числом $-\sqrt{-1}$, рассмотренное как трёхмерное подпространство в комплексификации ${ℂ}^7$ объемлющего пространства ${ℝ}^7$. Если бы почти комплексная структура была интегрируемой, то это отображение было бы голоморфным вложением $S^6$ в грассманиан $\mathrm{G}\mathrm{r}(3,7)$. Это бы давало кэлерову форму на $S^6$ в силу того, что грассманиан можно реализовать в проективном пространстве; но $H^2(S^6)=0$, что ведёт к противоречию.

Другие статьи

Лебрюну принадлежит около 100 статей в различных разделах геометрии и математической физики.

Ссылки

• Домашняя страница профессора Лебрюна
• Клод Лебрюн на сайте «Математическая генеалогия»