Преобразование координат

Преобразование координат — замена системы координат на плоскости, в пространстве или, в самом общем случае, на заданном $n$-мерном многообразии.

Пример перехода от полярных координат $\{r,\phi \}$ к декартовым $\{x,y\}$ на евклидовой плоскости:

$\{\begin{array}{c}x=r\cos \phi \\ y=r\sin \phi \end{array}$

Чаще всего преобразование координат производится для перехода к более простой или более удобной для анализа математической модели. Например, уравнения некоторых плоских кривых в полярных координатах существенно проще, чем в декартовых, а для исследования осесимметричных тел удобно направить одну из осей координат вдоль оси симметрии.

Определение

Преобразование координат — совокупность правилШаблон:Sfn, ставящих в соответствие каждому набору координат $\{x_1,x_2\dots x_n\}$ на некотором Шаблон:S многообразии другой набор координат $\{{x_1}^{\prime },{x_2}^{\prime }\dots {x_n}^{\prime }\}$:

$\{\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }={x_1}^{\prime }(x_1,x_2,\dots x_n)\\ {x_2}^{\prime }={x_2}^{\prime }(x_1,x_2,\dots x_n)\\ \dots \\ {x_n}^{\prime }={x_n}^{\prime }(x_1,x_2,\dots x_n)\end{array}$

При этом после преобразования должно сохраняться однозначное соответствие между точками многообразия и наборами координат (допускаются исключения для некоторых особых точек).

Сводку основных формул преобразования для практически важных координатных систем см. в статье Система координат.

Трактовка

Активная (слева) и пассивная (справа) точки зрения на вращение. Слева поворачивается плоскость, справа — оси координат.

Преобразование координат может трактоваться двоякоШаблон:Sfn.

1. Пассивная точка зрения — происходит смена координат точек многообразия. Все точки при этом остаются на своих местах.
2. Активная точка зрения — преобразование ставит в соответствие каждой точке многообразия другую точку. Система координат при этом не меняется.

Пример для евклидовой плоскости:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=x+1\\ y^{\prime }=y\end{array}$

Данное преобразование можно истолковать одним из двух способов.

1. Смена системы координат, которая увеличивает абсциссы всех точек на 1.
2. Перенос всех точек плоскости на 1 параллельно оси $x.$

Классификация

По типу формул все преобразования координат можно сгруппировать в разнообразные классы с общими типовыми свойствами. Далее перечислены некоторые практически особо важные классы преобразований, которые могут комбинироваться один с другим.

• Изометрия — преобразования, сохраняющие все длины. В том числе:
  • Вращение вокруг точки или оси.
  • Параллельный перенос.
  • Отражение. Сочетание этих трёх типов называется движением.
• Конформное отображение, сохраняющее все углы. В том числе:
  • Подобие — углы сохраняются, но все длины умножаются на некоторый постоянный коэффициент растяжения/сжатия.
• Аффинное преобразование.

Обычно выделенный класс является группой преобразований в смысле общей алгебры, то есть композиция двух преобразований относится к тому же классу и для каждого преобразования существует обратное. Исследование этой группы позволяет выделить симметрии и инварианты преобразований.

Инварианты

Инвариантом данного преобразования координат называется функция координат, значения которой после преобразования не меняютсяШаблон:Sfn. Например, вращения и переносы не меняют расстояния между точками евклидова пространства. Инварианты являются важной характеристикой группы преобразований.

См. также

• Вектор (геометрия)
• Инвариант (математика)
• Преобразования Галилея
• Преобразования Лоренца
• Тензор
• Эрлангенская программа

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Яглом И. М. Геометрические преобразования. Тома 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1956, 612 с.

Ссылки

• Заславский А. А. Геометрические преобразования Шаблон:Wayback.