Скин-эффект

Распределение плотности тока в цилиндрическом проводнике в поперечном сечении. Для переменного тока плотность тока экспоненциально убывает от поверхности вглубь проводника. Толщина скин-слоя $\delta$ определяется как глубина от поверхности, на которой плотность тока уменьшается до $1/e$ (около Шаблон:Nobr от значения на поверхности. Эта толщина зависит от частоты тока и электрических и магнитных свойств проводника

Пове́рхностный эффе́кт, скин-эффект — эффект уменьшения амплитуды электромагнитных волн по мере их проникновения вглубь проводящей среды. В результате этого эффекта, например, переменный ток высокой частоты при протекании по проводнику распределяется не равномерно по сечению, а преимущественно в поверхностном слое.

Объяснение поверхностного эффекта

Физическая картина возникновения

Механизм возникновения скин-эффекта. Переменный ток в проводнике порождает переменное вихревое магнитное поле, силовые линии которого перпендикулярны к оси проводника За счёт электромагнитной индукции переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, вызывающее протекание вихревого тока Фуко, причём на поверхности проводника вихревой ток направлен по направлению тока проводника, а внутри проводника — противоположно. Это явление снижает ток в сердцевине проводника и увеличивает поверхностный ток

Рассмотрим цилиндрический проводник, по которому течёт ток. Вокруг проводника с током имеется магнитное поле, силовые линии которого являются концентрическими окружностями с центром на оси проводника. В результате увеличения силы тока возрастает индукция магнитного поля, а форма силовых линий при этом остаётся прежней. Поэтому в каждой точке внутри проводника производная $\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ направлена по касательной к линии индукции магнитного поля и, следовательно, линии $\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$ также являются окружностями, совпадающими с линиями индукции магнитного поля. Изменяющееся магнитное поле по закону электромагнитной индукции:

$\mathrm{rot}𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$

создаёт электрическое индукционное поле, силовые линии которого представляют замкнутые кривые вокруг линии индукции магнитного поля. Вектор напряжённости индукционного поля в более близких к оси проводника областях направлен противоположно вектору напряжённости электрического поля, создающего ток, а в более дальних — совпадает с ним. В результате плотность тока уменьшается в приосевых областях и увеличивается вблизи поверхности проводника, то есть возникает скин-эффект.

Уравнение, описывающее скин-эффект

Исходим из уравнения Максвелла:

$\mathrm{rot}𝐁=\mu 𝐣$

и выражения для $𝐣$ по закону Ома:

$𝐣=\gamma 𝐄.$

Дифференцируя обе части полученного уравнения по времени, находим:

$\mathrm{rot}\frac{\partial 𝐁}{\partial t}=\mu \gamma \frac{\partial 𝐄}{\partial t},$

$-\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐄=\mu \gamma \frac{\partial 𝐄}{\partial t},$

здесь $\gamma$ — удельная проводимость материала проводника, $\gamma =1/\rho ,$ $\rho$ — удельное сопротивление материала проводника.

Поскольку $\mathrm{rot}\mathrm{rot}𝐄=\mathrm{grad}\mathrm{div}𝐄-{\mathrm{\nabla }}^2𝐄$ и $\mathrm{div}𝐄=0$ окончательно получаем:

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄=\mu \gamma \frac{\partial 𝐄}{\partial t}$.

здесь $\mu$ — абсолютная магнитная проницаемость материала проводника, $\mu ={\mu }_0{\mu }_m,$ ${\mu }_0$ — магнитная проницаемость вакуума, ${\mu }_m$ — относительная магнитная проницаемость материала проводника.

Скин-эффект в бесконечном проводнике с плоской границей

Для упрощения решения предположим, что ток течёт вдоль оси $X$ по однородному бесконечному проводнику, занимающему полупространство $y>0$. Поверхностью проводника является плоскость $Y=0.$ Таким образом:

$j_x=j_x(y,t),j_y=j_z=0,$

$E_x=E_x(y,t),E_y=E_z=0.$

Тогда:

$\frac{{\partial }^2{E}_x}{\partial y^2}=\mu \gamma \frac{\partial E_x}{\partial t}.$

В этом уравнении все величины гармонически зависят от $t,$ и можно положить:

$E_x(y,t)=E_0(y)e^{i\omega t},$

здесь $\omega$ — угловая частота.

Подставим это в наше уравнение и получим уравнение для $E_0(y):$

$\frac{{\partial }^2{E}_0}{\partial y^2}=i\gamma \mu \omega E_0.$

Общее решение этого уравнения:

$E_0=A_1{e}^{-ky}+A_2{e}^{ky}.$

Учитывая, что $k=\sqrt{i\gamma \mu \omega }=\alpha (1+i)$, где $\alpha =\sqrt{\frac{\gamma \mu \omega }{2}}$, находим:

$E_0=A_1{e}^{-\alpha y}{e}^{-i\alpha y}+A_2{e}^{\alpha y}{e}^{i\alpha y}.$

При удалении от поверхности проводника ($y\to \mathrm{\infty }$) второе слагаемое неограниченно возрастает, что является физически недопустимой ситуацией. Следовательно, $A_2=0$, и в качестве физически приемлемого решения остаётся только первое слагаемое. Тогда решение задачи имеет вид:

$E_x=A_1{e}^{-\alpha y}{e}^{i(\omega t-\alpha y)}.$

Взяв действительную часть от этого выражения и перейдя с помощью соотношения $𝐣=\gamma 𝐄$ к плотности тока, получим:

$j_x(y,t)=A_1{e}^{-\alpha y}\cos (\omega t-\alpha y).$

Принимая во внимание, что $j_x(0,0)=j_0$ — амплитуда плотности тока на поверхности проводника, приходим к следующему распределению объёмной плотности тока в проводнике:

$j_x(y,t)=j_0{e}^{-\alpha y}\cos (\omega t-\alpha y).$

Толщина скин-слоя

Зависимость глубины скин-слоя от частоты для различных материалов.
Материалы:
Mn-Zn — магнитомягкий марганцево-цинковый феррит марки 3C90 с начальной относительной магнитной проницаемостью 2300 (при 25 °C, 10 кГц) и удельным сопротивлением 5 Ом·м.
Al — алюминий, относительная проницаемость = 1, удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Cu — медь, относительная проницаемость = 1, удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Сталь 410 — ферромагнитная нержавеющая сталь 410, магнитная проницаемость 1000 и удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Fe-Si — текстурированная электротехническая сталь (состав около 97 % Fe и 3 % Si), проницаемость = 29000 и удельное сопротивление = Шаблон:Val.
Fe-Ni — пермаллой (торговое наименование VACUUMSCHMELZE GmbH & Co. KG — Mumetall), проницаемость = 250 000 и удельное сопротивления = Шаблон:Val.
Красной вертикальной прямой отмечена частота 50 Гц.

Плотность тока максимальна у поверхности проводника. При удалении от поверхности она убывает экспоненциально и на глубине $\delta$ становится меньше в е раз (примерно на 70 %). Эта глубина называется толщиной скин-слоя и на основании приведённого выше равна:

$\mathrm{\Delta }=\sqrt{\frac{2}{\gamma \mu \omega }}.$

Толщина скин-слоя в меди

Частота	$\delta ,$ мм	Примечания
50 Гц	9,34 мм	50 Гц — частота электросети в большинстве стран Евразии и Африки
60 Гц	8,53 мм	60 Гц — частота электросети в Северной, Центральной и частично Южной Америке
10 кГц	0,66 мм
100 кГц	0,21 мм
500 кГц	0,095 мм
1 МГц	0,067 мм
10 МГц	0,021 мм

Очевидно, что при достаточно большой частоте $\omega$ толщина скин-слоя может быть очень малой. Также из экспоненциального убывания плотности тока следует, что практически весь ток сосредоточен в слое толщиной в несколько $\delta$, так, уменьшение плотности тока в 100 раз происходит на глубине $\approx \text{4,6}\delta$, если общая толщина проводника многократно превышает толщину скин-слоя. В качестве примера в таблице приведена зависимость толщины скин-слоя от частоты для медного проводника.

Если проводник имеет ферромагнитные свойства, то толщина скин-слоя будет во много раз меньше. Например, для стали (${\mu }_m$= 1000) $\delta$= 0,74 мм. Это имеет значение, например, при электрификации железных дорог, поскольку там стальные рельсы используются в качестве обратного провода.

Для расчёта толщины скин-слоя в металле можно использовать следующие приближённые формулы:

$\mathrm{\Delta }=c\sqrt{2\frac{{\epsilon }_0}{\omega {\mu }_m}\rho },$

здесь ${\epsilon }_0$ = 8,85419Шаблон:E Ф/м — электрическая постоянная, $\rho$ — удельное сопротивление, $c$ — скорость света, ${\mu }_m$ — относительная магнитная проницаемость (близка к единице для пара- и диамагнетиков — меди, серебра, и т. п.), $\omega =2\pi \cdot f,$ $f$ — частота.

Все величины выражены в системе СИ.

Практически удобная формула:

$\mathrm{\Delta }=503\sqrt{\frac{\rho }{{\mu }_{m}f}}.$

Аномальный скин-эффект

Изложенная теория справедлива лишь при условии, что толщина скин-слоя много больше средней длины свободного пробега электронов, так как мы предполагаем, что при своём движении электрон непрерывно теряет энергию на преодоление омического сопротивления проводника, в результате чего происходит выделение джоулевой теплоты. Такое соотношение справедливо в весьма широких пределах, однако даже при комнатной температуре длина свободного пробега электрона для металлов сопоставима с глубиной скин-слоя — что говорит об аномальном характере эффекта. При очень низкой температуре ситуация только усугубляется: проводимость сильно повышается, а следовательно, увеличивается длина свободного пробега и уменьшается толщина скин-слоя. При этих условиях механизм, приводящий к образованию скин-эффекта, уже не действует. Эффективная толщина слоя, в котором сосредоточен ток, изменяется. Такое явление называется аномальным скин-эффектом.

Применение

На скин-эффекте основано действие взрывомагнитных генераторов (ВМГ), взрывомагнитных генераторов частоты (ВМГЧ) и в частности ударно-волновых излучателей (УВИ)Шаблон:Нет АИ.

Благодаря скин-эффекту в высокочастотном магнитном поле теплота выделяется преимущественно в поверхностном слое. Это позволяет нагревать проводник в тонком поверхностном слое без существенного изменения температуры внутренних областей. Это явление используется в важном, с промышленной точки зрения, методе поверхностной закалки металлов, реализуемом на основе индукционного нагрева.

Помимо поверхностной закалки, в индукционном нагреве скин-эффект позволяет реализовать технологию индукционного удаления полимерных покрытий, широко используемую при ремонте магистральных нефте- и газопроводов, ремонте палубных покрытий морских судов и т. п.

Учёт эффекта в технике и борьба с ним

Скин-эффект проявляется существеннее с увеличением частоты переменного тока, и учитывается при конструировании и расчётах электрических схем, работающих на переменном и импульсном токах. Так как ток высокой частоты течёт по тонкому поверхностному слою проводника, общее активное сопротивление проводника возрастает, что приводит к быстрому затуханию колебаний высокой частоты.

Скин-эффект влияет на характеристики катушек индуктивности и колебательных контуров, такие как добротность, на затухание в линиях передачи, на характеристики фильтров, на расчёты тепловых потерь и КПД, на выбор сечений проводников.

Для уменьшения влияния скин-эффекта применяют проводники различного сечения: плоские (в виде лент), трубчатые (полые внутри), наносят на поверхность проводника слой металла с более низким удельным сопротивлением. Например, серебро обладает наибольшей удельной проводимостью среди всех металлов и технологично для нанесения на металлические поверхности. Тонкий его слой, в котором из-за скин-эффекта и протекает бо́льшая часть тока, оказывает заметное снижение (до 10 %) активного сопротивления проводника. Однако, слой сульфида, образующийся на поверхности серебра, не проводит ток и не участвует в скин-эффекте, в отличие от слоя окиси-закиси на поверхности меди, обладающего заметной проводимостью, и имеет свойства полупроводника, и вносит дополнительные потери на высоких частотах.

Покрытие серебром также применяется в сверхвысокочастотном оборудовании, использующем колебательные контуры особой формы: объёмные резонаторы и специфические линии передачи — волноводы. Кроме того, на таких частотах уделяют внимание снижению шероховатости поверхности с целью уменьшения длины пути протекания тока.

Также применяется и покрытие золотом, у которого слой окислов отсутствует. Напротив, покрытие никелем, оловом или оловянно-свинцовым припоем способно значительно, в несколько раз увеличить сопротивление медных проводников на высоких частотах.

Так, в ВЧ аппаратуре используют катушки индуктивности, намотанные из посеребрённого провода, часто серебрят печатные и проволочные проводники, поверхности экранов и обкладки конденсаторов. В высоковольтных линиях электропередач иногда применяют провод в медной либо алюминиевой оболочке со стальным сердечникомШаблон:Нет АИ, в мощных генераторах переменного тока обмотка изготавливается из трубок, по которым для охлаждения циркулирует дистиллированная вода.

Также с целью снижения скин-эффекта используют систему из нескольких переплетённых и изолированных проводов — намоточный провод литцендрат.

При передаче больших мощностей на значительные расстояния применяются линии электропередачи постоянного тока — HVDC, постоянный ток не вызывает скин-эффекта.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Электромагнитная экранировка. Модель скин-эффекта / Гервидс, Валериан Иванович — доцент кафедры общей физики МИФИ, кандидат физико-математических наук.