Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор — обобщение понятия эрмитово-сопряжённой матрицы для бесконечномерных пространств.

Линейная алгебра

Преобразование ${\phi }^{\ast }$ называется сопряжённым линейному преобразованию $\phi$, если для любых векторов $x$ и $y$ выполнено равенство $(\phi \left(x\right),y)=(x,{\phi }^{\ast }\left(y\right))$. У каждого преобразования существует единственное сопряжённое преобразование. Его матрица в базисе определяется по матрице преобразования формулой $A^{\ast }={\Gamma }^{-1}{A}^T\Gamma$, если пространство евклидово, и формулой $A^{\ast }=\overline{{\Gamma }^{-1}{A}^T\Gamma }$ в унитарном пространстве. $\Gamma$ здесь обозначает матрицу Грама выбранного базиса. Если он ортонормированный, эти формулы принимают вид $A^{\ast }=A^T$ и $A^{\ast }={\overline{A}}^T$ соответственно.

Общее линейное пространство

Пусть $E,L$ — линейные пространства, а $E^{\ast },L^{\ast }$ — сопряжённые линейные пространства (пространства линейных функционалов, определённых на $E,L$). Тогда для любого линейного оператора $A:E\to L$ и любого линейного функционала $g\in L^{\ast }$ определён линейный функционал $f\in E^{\ast }$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Отображение $g\mapsto f$ называется сопряжённым линейным оператором и обозначается $A^{\ast }:L^{\ast }\to E^{\ast }$.

Если кратко, то $(A^{\ast }g,x)=(g,Ax)$, где $(B,x)$ — действие функционала $B$ на вектор $x$.

Топологическое линейное пространство

Пусть $E,L$ — топологические линейные пространства, а $E^{\ast },L^{\ast }$ — сопряжённые топологические линейные пространства (пространства непрерывных линейных функционалов, определённых на $E,L$). Для любого непрерывного линейного оператора $A:E\to L$ и любого непрерывного линейного функционала $g\in L^{\ast }$ определён непрерывный линейный функционал $f\in E^{\ast }$ — суперпозиция $g$ и $A$: $f(x)=g(A(x))$. Нетрудно проверить, что отображение $g\mapsto f$ линейно и непрерывно. Оно называется сопряжённым оператором и обозначается также $A^{\ast }:L^{\ast }\to E^{\ast }$.

Банахово пространство

Пусть $A:X\to Y$ — непрерывный линейный оператор, действующий из банахова пространства $X$ в банахово пространство $Y$ и пусть $X^{\ast },Y^{\ast }$ — сопряжённые пространства. Обозначим $\mathrm{\forall }x\in X,f\in Y^{\ast }[Ax,f]=f(Ax)$. Если $f$ — фиксировано, то $[Ax,f]$ — линейный непрерывный функционал в $X,[Ax,f]\in X^{\ast }$. Таким образом, для $\mathrm{\forall }f\in Y^{\ast }$ определён линейный непрерывный функционал из $X^{\ast }$, поэтому определён оператор $A^{\ast }:Y^{\ast }\to X^{\ast }$, такой что $[Ax,f]=[x,A^{\ast }f]$.

$A^{\ast }$ называется сопряжённым оператором. Аналогично можно определять сопряжённый оператор к линейному неограниченному оператору, но он будет определён не на всём пространстве.

Для $A^{\ast }$ справедливы следующие свойства:

• Оператор $A^{\ast }$ — линейный.
• Если $A$ — линейный непрерывный оператор, то $A^{\ast }$ также линейный непрерывный оператор.
• Пусть $O$ — нулевой оператор, а $E$ — единичный оператор. Тогда $O^{\ast }=O,E^{\ast }=E$.
• $(A+B{)}^{\ast }=A^{\ast }+B^{\ast }$.
• $\mathrm{\forall }\alpha \in ℂ,(\alpha A{)}^{\ast }=\overline{\alpha }{A}^{\ast }$.
• $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$.
• $(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}$.

Гильбертово пространство

В гильбертовом пространстве $H$ теорема Рисса даёт отождествление пространства со своим сопряжённым, поэтому для оператора $A:H\to H$ равенство $(Ax,y)=(x,A^{\ast }y)$ определяет сопряжённый оператор $A^{\ast }:H\to H$. Здесь $(x,y)$ — скалярное произведение в пространстве $H$.

См. также

• Эрмитов оператор

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.