Тензорный анализ

Полный тензор механических напряжений σ в декартовых координатах

Тензорный анализ — обобщение векторного анализа, раздел тензорного исчисления, изучающий дифференциальные операторы, действующие на алгебре тензорных полей $D(M)$ дифференцируемого многообразия $M$. Рассматриваются также операторы, действующие на более общие, чем тензорные поля, геометрические объекты: тензорные плотности, дифференциальные формы со значениями в векторном расслоении.

Наибольший интерес представляют операторы, действие которых не выводит за пределы алгебры $D(M)$, среди таковых — ковариантная производнаяШаблон:Переход, производная ЛиШаблон:Переход, внешняя производнаяШаблон:Переход, тензор кривизны невырожденного, дважды ковариантного тензораШаблон:Переход.

Ковариантная производная

Шаблон:Main Ковариантная производная вдоль векторного поля $X$ — линейное отображение ${\mathrm{\nabla }}_X$ пространства векторных полей $D^1(M)$ многообразия $M$, зависящее от векторного поля $X$ и удовлетворяющее условиям:

${\mathrm{\nabla }}_{fX+gV}Z=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Z+g{\mathrm{\nabla }}_{V}Z,$

${\mathrm{\nabla }}_X(fZ)=f{\mathrm{\nabla }}_{X}Z+(Xf)Y,$

где $X$, $Y$, $Z\in D^{\prime }(M)$, $f$, $g$ — гладкие функции на $M$. Определяемые этим оператором связность $\mathrm{\Gamma }$ и параллельное перенесение позволяют распространить действие ковариантной производной до линейного отображения алгебры $D(M)$ в себя; при этом отображение $\mathrm{\nabla }X$ есть дифференцирование, сохраняет тип тензорного поля и перестановочно со свёрткой.

В локальных координатах $u^1,u^2,\dots ,u^n$ ковариантная производная тензора с компонентами $T\left(T_{j_1\dots j_m}^{i_1\dots i_l}\right)$ относительно вектора $X={\xi }^i\frac{\partial }{\partial u^i}$ определяется как:

${\mathrm{\nabla }}_{X}T={\xi }^s(\frac{\partial T_{j_1\dots m}^{i_1\dots i_l}}{\partial u^s}+{\mathrm{\Gamma }}_{k_s}^{i_1}{T}_{j_1\dots j_m}^{k\dots i_l}+\dots -{\mathrm{\Gamma }}_{j_{i,s}}^k{T}_{k\dots j_m}^{i_1\dots i_l}),$

${\mathrm{\Gamma }}_{ks}^i$ — объект связности $\mathrm{\Gamma }$.

Производная Ли

Шаблон:Main Производная Ли вдоль векторного поля $X$ — отображение $L_X$ пространства $D^{\prime }(M)$, определяемое формулой $L_X:Y\to [X,Y]$, где $[X,Y]$ — коммутатор векторных полей $X$, $Y$. Этот оператор также однозначно продолжается до дифференцирования $D(M)$, сохраняет тип тензоров и перестановочен со свёрткой. В локальных координатах производная Ли тензора $T\left(T_{j_1\dots j_m}^{i_1\dots i_l}\right)$ выражается так:

$L_{X}T={\xi }^k\frac{\partial T_{j_1\dots j_m}^{i_1\dots i_l}}{\partial u^k}+T_{k\dots j_m}^{i_1\dots i_l}\frac{\partial {\xi }^k}{\partial u^i}+\dots -T_{j_1\dots j_m}^{k\dots i_l}\frac{\partial {\xi }^{i_1}}{\partial u^k}-\dots$

Внешняя производная

Внешний дифференциал (внешняя производная) — линейный оператор $d$, сопоставляющий внешней дифференциальной форме (кососимметричному ковариантному тензору) степени $p$ форму такого же вида и степени $p+1$, удовлетворяющий условиям:

$d({\omega }_1\wedge {\omega }_2)=d{\omega }_1\wedge {\omega }_2+(-1{)}^r{\omega }_1\wedge d{\omega }_2,d(d\omega )=0,$

где $\wedge$ — символ внешнего произведения, $r$ — степень ${\omega }_1$. В локальных координатах внешняя производная тензора $\omega ⟨{\omega }_{i_1\dots i_p}⟩$ выражается так:

$d\omega =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{\partial {\omega }_{i_1\dots {\hat{i}}_k\dots i_{p+1}}}{\partial u^{i_k}}.$

Оператор $d$ — обобщение оператора $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}$.

Тензор кривизны

Тензор кривизны симметричного невырожденного дважды ковариантного тензора $g_{if}$ представляет собой действие некоторого нелинейного оператора $R$:

$g_{if}\to R_{mlk}^s=\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{km}^s}{\partial u^l}-\frac{\partial {\mathrm{\Gamma }}_{kl}^s}{\partial u^m}+\sum _p({\mathrm{\Gamma }}_{lp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{km}^p-{\mathrm{\Gamma }}_{mp}^s{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^p)$,

где

${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=\frac{1}{2}{g}^{is}(\frac{\partial g_{js}}{\partial u^k}+\frac{\partial g_{ks}}{\partial u^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial u^s})$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга