Теорема Банаха о неподвижной точке

Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема

Пусть $(𝕏,d)$ — непустое полное метрическое пространство.

Пусть $T:𝕏\to 𝕏$ — сжимающее отображение на $𝕏$, то есть существует число $0⩽\alpha <1$ такое, что

$d(Tx,Ty)⩽\alpha d(x,y),$ для всех $x,y$ из $𝕏\mathbb{.}$

Тогда у отображения $T$ существует, и притом единственная, неподвижная точка $x^{\ast }$ из $𝕏$ (неподвижность $x^{\ast }$ означает , что $T{x}^{\ast }=x^{\ast }$)Шаблон:Sfn.

Число $\alpha$ часто называют коэффициентом сжатия.

Если число $\alpha$ равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство

Возьмём произвольный фиксированный элемент метрического пространства $x\in 𝕏$ и рассмотрим последовательность $x_1=Tx,x_2=T{x}_1,\dots ,x_{n+1}=T{x}_n$.

Таким образом получим последовательность $\{x_n\}$.

Покажем, что эта последовательность фундаментальна. В самом деле:

$d(x_1,x_2)=d(Tx,T{x}_1)⩽\alpha d(x,x_1)=\alpha d(x,Tx),$

$d(x_2,x_3)=d(T{x}_1,T{x}_2)⩽\alpha d(x_1,x_2)⩽{\alpha }^{2}d(x,Tx),$

$\dots ,$

$d(x_n,x_{n+1})⩽{\alpha }^{n}d(x,Tx).$

По неравенству треугольника для $d(x_n,x_{n+p})⩽d(x_n,x_{n+1})+d(x_{n+1},x_{n+2})+\dots +d(x_{n+p-1},x_{n+p})⩽{\alpha }^n(1+\alpha +\dots +{\alpha }^{p-1})d(x,Tx)=\frac{{\alpha }^n-{\alpha }^{n+p}}{1-\alpha }d(x,Tx)$.

Так как по условию $0<\alpha <1$, то $d(x_n,x_{n+p})<\frac{{\alpha }^n}{1-\alpha }d(x,Tx)$. Отсюда следует, что $d(x_n,x_{n+p})\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$ и любом $p>0$.

Значит, последовательность $\{x_n\}$ фундаментальна.

В силу полноты пространства $𝕏$ существует элемент $x_0\in 𝕏$, являющийся пределом этой последовательности $x_0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$.

Докажем, что $T{x}_0=x_0$.

По неравенству треугольника, $d(x_0,T{x}_0)⩽d(x_0,x_n)+d(x_n,T{x}_0)=d(x_0,x_n)+d(T{x}_{n-1},T{x}_0)⩽d(x_0,x_n)+\alpha d(x_{n-1},x_0)$. Так как $x_0=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$, то для любого $\epsilon >0$ при достаточно большом $n$ $d(x_0,x_n)<\frac{\epsilon }{2}$ и $d(x_0,x_{n-1})<\frac{\epsilon }{2}$. Так как $\epsilon >0$ произвольно, то отсюда следует, что $d(x_0,T{x}_0)=0$, то есть $x_0=T{x}_0$, что и требовалось доказать.

Докажем единственность неподвижной точки у отображения сжатия $T$. Предположим, что существуют два различных элемента $x_0,y_0\in 𝕏$, такие, что $T{x}_0=x_0,T{y}_0=y_0$. Тогда $d(x_0,y_0)=d(T{x}_0,T{y}_0)⩽\alpha d(x_0,y_0)$. Если допустить, что $d(x_0,y_0)>0$, то из предыдущего следует, что $\alpha ⩾1$. Но это противоречит условию $\alpha <1$. Таким образом, наше допущение что $d(x_0,y_0)>0$ неверно и $x_0=y_0$.

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов краевых задач. В теории интегральных уравнений теорема используется для доказательства существования и единственности решения неоднородного линейного интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода, интегрального уравнения Вольтерры 2-го рода, некоторых видов нелинейных интегральных уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.

Литература

• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — Шаблон:М: Наука, 1975.
• Шаблон:Книга