Теорема Зейферта — ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

Формулировка

Пусть $X$ — топологическое пространство, $V,U\subset X$ — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение $W=V\cap U$ также линейно связно, и $X=V\cup U$. Зафиксируем точку $p\in W$. Заметим, что включения

$W\hookrightarrow U,W\hookrightarrow V,U\hookrightarrow X,V\hookrightarrow X$

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

$I:{\pi }_1(W,p)\to {\pi }_1(U,p)$, $J:{\pi }_1(W,p)\to {\pi }_1(V,p)$, ${\pi }_1(U,p)\to {\pi }_1(X,p)$ и ${\pi }_1(V,p)\to {\pi }_1(X,p)$.

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

${\pi }_1(X,p)={\pi }_1(U,p){*}_{{\pi }_1(W,p)}{\pi }_1(V,p).$

Замечания

• Если даны задания групп ${\pi }_1(U,p)$ и ${\pi }_1(V,p)$

  $\begin{array}{cc}{\pi }_1(U,p)& =⟨u_1,\cdots ,u_k\mid {\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_l⟩\\ {\pi }_1(V,p)& =⟨v_1,\cdots ,v_m\mid {\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n⟩\\ \end{array}$

и $w_1,\cdots ,w_s$ — образующие группы ${\pi }_1(W,p)$, то

${\pi }_1(X,p)=⟨u_1,\cdots ,u_k,v_1,\cdots ,v_m|{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_l,{\beta }_1,\cdots ,{\beta }_n,I(w_1)J(w_1{)}^{-1},\cdots ,I(w_p)J(w_p{)}^{-1}⟩.$

Следствия

• Если пересечение $W$ односвязно, то

  ${\pi }_1(X,p)={\pi }_1(U,p)*{\pi }_1(V,p),$

то есть фундаментальна группа $X$ изоморфна свободному произведению фундаментальных групп $U$ и $V$.

• В частности,

${\pi }_1(X_1\vee X_2)={\pi }_1(X_1)*{\pi }_1(X_2),$

для букета $X_1\vee X_2$ связных и локально односвязных пространств $X_1$ и $X_2$.

• Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
  • Например сферу $X=S^2$ можно покрыть двумя дисками $U=S^2\mathrm{\setminus }\{n\}$ и $V=S^2\mathrm{\setminus }\{s\}$, где $n$ и $s$ обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение $W=V\cap U=S^2\mathrm{\setminus }\{n,s\}$ связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа $X$ также тривиальна.

Вариации и обобщения

• Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если $W$ не связно.
• Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.