Теорема Тонелли — Фубини

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с $\sigma$-конечными мерами $(X_i,{ℱ}_i,{\mu }_i),i=1,2$. Обозначим через $(X_1\times X_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mu }_1\otimes {\mu }_2)$ их произведение. Пусть функция $f:X_1\times X_2\to ℝ$ интегрируема относительно меры ${\mu }_1\otimes {\mu }_2$. Тогда

• функция $x_1\to \underset{X_2}{\int }f(x_1,x_2){\mu }_2\left(d{x}_2\right)$ определена ${\mu }_1$-почти всюду и интегрируема относительно ${\mu }_1$;
• функция $x_2\to \underset{X_1}{\int }f(x_1,x_2){\mu }_1\left(d{x}_1\right)$ определена ${\mu }_2$-почти всюду и интегрируема относительно ${\mu }_2$;
• имеют место равенства

$\underset{X_1\times X_2}{\iint }f(x_1,x_2){\mu }_1\otimes {\mu }_2\left(d{x}_{1}d{x}_2\right)=\underset{X_1}{\int }\left[\underset{X_2}{\int }f(x_1,x_2){\mu }_2\left(d{x}_2\right)\right]{\mu }_1\left(d{x}_1\right)$

и

$\underset{X_1\times X_2}{\iint }f(x_1,x_2){\mu }_1\otimes {\mu }_2\left(d{x}_{1}d{x}_2\right)=\underset{X_2}{\int }\left[\underset{X_1}{\int }f(x_1,x_2){\mu }_1\left(d{x}_1\right)\right]{\mu }_2\left(d{x}_2\right).$

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть $({\mathrm{\Omega }}_i,{ℱ}_i,{\mathbb{P}}_i),i=1,2$ — вероятностные пространства, и $X:{\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2\to ℝ$ — случайная величина на $({\mathrm{\Omega }}_1\times {\mathrm{\Omega }}_2,{ℱ}_1\otimes {ℱ}_2,{\mathbb{P}}_1\otimes {\mathbb{P}}_2)$. Тогда

${𝔼}_{{\mathbb{P}}_1\otimes {\mathbb{P}}_2}[X]={𝔼}_{{\mathbb{P}}_1}[{𝔼}_{{\mathbb{P}}_2}[X]]={𝔼}_{{\mathbb{P}}_2}[{𝔼}_{{\mathbb{P}}_1}[X]],$

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть $f:D=[a,b]\times [c,d]\to ℝ$ функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике $[a,b]\times [c,d]$, то есть $f\in ℝ(D)$. Тогда

$\underset{D}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{a}{\overset{b}{\int }}[\underset{c}{\overset{d}{\int }}f(x,y)dy]dx=\underset{c}{\overset{d}{\int }}[\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dx]dy,$

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.

Доказательство

Любое разбиение $\lambda$ множества $[a,b]\times [c,d]$ получено некоторыми разбиениями ${\lambda }_x$ отрезка $X=[a,b]$ и ${\lambda }_y$ отрезка $[c,d]$, при этом объём любого прямоугольника $X_i\times Y_j$ определяется $V(X_i\times Y_j)=\left|X_i\right|\cdot \left|Y_j\right|$, где $X_i,Y_j$ ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

$\underset{X}{\int }dx\left[\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\right](\ast )$

и нижних и верхних интегральных сумм функции $ℒ(f,\lambda )$ и $𝒰(f,\lambda )$:
$ℒ(f,\lambda )=\sum _{i,j}\underset{x\in X_i,y\in Y_j}{inf}f(x,y)V(X_i\times Y_j)⩽\sum _i\underset{x\in X_i}{inf}\left(\sum _i\underset{y\in Y_j}{inf}f(x,y)\left|Y_j\right|\right)\left|X_i\right|$
$\sum _{i}inf\left(\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\right)\left|X_i\right|⩽\underset{X}{\int }dx\underset{Y}{\int }f(x,y)dy⩽\sum _{i}sup\left(\underset{Y}{\int }f(x,y)dy\right)\left|X_i\right|$
$𝒰(f,\lambda )=\sum _{i,j}\underset{x\in X_i,y\in Y_j}{sup}f(x,y)V(X_i\times Y_j)⩾\sum _i\underset{x\in X_i}{sup}\left(\sum _i\underset{y\in Y_j}{sup}f(x,y)\left|Y_j\right|\right)\left|X_i\right|$
Тогда при интегрируемости $f$ по $X\times Y$, то есть равенстве $\underset{\lambda }{sup}ℒ(f,\lambda )=\underset{\lambda }{inf}𝒰(f,\lambda )$ из вышеуказанных оценок интеграл $(\ast )$ также существует и имеет такое же значение, как и $\underset{X\times Y}{\iint }f(x,y)dxdy.$

См. также

• Произведение мер
• Малая теорема Фубини
• Кошмар Фубини
• Формула коплощади

Литература

• Шаблон:Книга