Формула коплощади

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения. Принцип Кавальери является частным случаем формулы коплощади.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области ${ℝ}^n$. Также она верна для липшицевых и соболевских функций.

Формулировка

Пусть $\mathrm{\Omega }$ есть область в ${ℝ}^n$ и $u:{ℝ}^n\to {ℝ}^k$ — липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g(x)\cdot |{\wedge }^k{d}_{x}u|\cdot dx=\underset{{ℝ}^k}{\int }dt\cdot (\underset{u^{-1}(t)}{\int }g(x)\cdot d{H}_{n-k}),$

где ${\wedge }^k{d}_{x}u$ обозначает внешнее произведение $k$ копий дифференциала $d_{x}u$, а $H_{n-k}$ — $(n-k)$-мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи

• Для вещественнозначной функции $u$, формула коплощади имеет вид

  $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g(x)\cdot |\mathrm{\nabla }u(x)|\cdot dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\cdot (\underset{u^{-1}(t)}{\int }g(x)\cdot d{H}_{n-1}),$

где $\mathrm{\nabla }u$ — градиент $u$.

• В случае $n=k$, мера Хаусдорфа $H_{n-k}=H_0$ есть считающая мера, а ${\wedge }^k{d}_{x}u$ есть якобиан $u$ в $x$. Поэтому формулу можно переписать следующим образом

  $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g(x)\cdot |\frac{\partial u}{\partial x}|\cdot dx=\underset{{ℝ}^k}{\int }dt\cdot (\sum _{x\in u^{-1}(t)}g(x)).$

Данная формула также называется формулой площади.

Литература

• Шаблон:Книга