Тест Харке — Бера

Тест Ха́рке—Бе́ра (Шаблон:Lang-en) — это статистический тест, проверяющий ошибки наблюдений на нормальность посредством сверки их третьего момента (асимметрия) и четвёртого момента (эксцесс) с моментами нормального распределения, у которого $S=0$, $K=3$.

В тесте Харке—Бера проверяется нулевая гипотеза ${\mathscr{H}}_0:S=0,K=3$ против гипотезы ${\mathscr{H}}_1:S\ne 0,K\ne 3$, где $S$ — коэффициент асимметрии (Skewness), $K$ — коэффициент эксцесса (Kurtosis)

Формулировка

Тест выглядит следующим образом:

$JB=n(\frac{S^2}{6}+\frac{(K-3{)}^2}{24})$, где $S=\frac{\sum e_i^3}{n{\hat{\sigma }}_{ML}^3}$, $K=\frac{\sum e_i^4}{n{\hat{\sigma }}_{ML}^4}$, $e_i$ — остатки модели, $n$ — количество наблюдений, ${\hat{\sigma }}_{ML}^2=\frac{\sum e_i^2}{n}$, ML — обозначение метода максимального правдоподобия (Maximal Likelihood). Данная статистика имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы (${\chi }_2^2$), поскольку коэффициенты $S$ и $K$ асимптотически нормальны, следовательно, их квадраты при нормировке дадут две случайные величины, распределённые как ${\chi }_1^2$. Чем ближе распределение ошибок к нормальному, тем меньше статистика Харке—Бера отличается от нуля. При достаточно большом значении статистики p-value будет мало, и тогда будет основание отвергнуть нулевую гипотезу (статистика попала в «хвост» распределения).

Свойства теста

Тест Харке—Бера является асимптотическим тестом, то есть применим к большим выборкам. Если ошибки распределены нормально, то в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова оценки метода наименьших квадратов будут лучшими (иметь наименьшую дисперсию в классе линейных несмещённых оценок), и коэффициенты регрессии будут также распределены асимптотически нормально.

Литература

• Шаблон:Книга