Формула Эйлера — Маклорена

Формула суммирования Эйлера — Маклорена — формула, позволяющая выражать дискретные суммы значений функции через интегралы от функции. В частности, многие асимптотические разложения сумм получаются именно через эту формулу.

Формула была найдена независимо Леонардом Эйлером в 1732 году и Колином Маклореном примерно в 1735 году (и позже была обобщена до Шаблон:Нп3). Эйлер получил эту формулу, когда ему потребовалось вычислить медленно сходящийся ряд, а Маклорен использовал её для вычисления интегралов.

Формула

Формула Эйлера — Маклорена имеет вид:

$\sum _{a⩽k<b}f(k)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+{\sum _{k=1}^m\frac{B_k}{k!}{f}^{(k-1)}(x)|}_a^b+R_m,$

где

$R_m=(-1{)}^{m+1}\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{B_m(\{x\})}{m!}{f}^{(m)}(x)dx,$

здесь $a⩽b,m$ — натуральное, $B_k$ — числа Бернулли, $f(x)$ — достаточно гладкая функция, чтобы иметь производные $f^{\prime }(x),\dots ,f^{(m)}(x)$, $B_m(t)$ — многочлен Бернулли, $\{x\}$ — дробная часть x. В случае, когда $R_m$ мало, получаем хорошее приближение для суммы.

Многочлены Бернулли $B_n(x),n=0,1,2,\dots$ определяются рекуррентно как

$B_0(x)=1,$

${B_n}^{\prime }(x)=n{B}_{n-1}(x),\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_n(x)dx=0,n\in \mathbb{N}.$

Выражение $B_n(\{x\})=P_n(x)$ называется периодической функцией Бернулли.

Остаточный член

Остаточный член R может быть легко выражен в терминах $P_n(x)$:

$R=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(2p)}(x)\frac{P_{2p}(x)}{(2p)!}dx,$

или эквивалентным образом, получаемым интегрированием по частям, предполагая, что $f^{(2p)}$ дифференцируема еще раз, и вспоминая, что нечетные числа Бернулли равны нулю:

$R=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{(2p+1)}(x)\frac{P_{(2p+1)}(x)}{(2p+1)!}dx.$

где $n⩾0$. Можно показать, что

$|B_n(x)|⩽\frac{2n!}{(2\pi {)}^n}\zeta (n),$

где $\zeta$ обозначает дзета-функцию Римана. Равенство достигается для четных n и $x=0$. С помощью этого неравенства остаточный член оценивается как

$\left|R\right|⩽\frac{2\zeta (2p)}{(2\pi {)}^{2p}}\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f^{(2p)}(x)|dx$

Доказательство

Операторные соображения

Перед доказательством удобно рассмотреть соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу) о том, почему такая формула имеет место. Пусть $\mathrm{\Delta }$ — разностный оператор, $\mathrm{\Sigma }$ — оператор суммирования, $D$ — оператор дифференцирования, $\int$ — оператор интегрирования. Тогда оператор $\mathrm{\Delta }$ обратен к $\mathrm{\Sigma }$, а $D$ обратен к $\int$. Можно выразить $\mathrm{\Delta }$ через $D$ с помощью формулы Тейлора:

$\mathrm{\Delta }f(x)=f(x+1)-f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{1!}+\frac{f^{″}(x)}{2!}+\frac{f^{‴}(x)}{3!}+\dots =(\frac{D}{1!}+\frac{D^2}{2!}+\frac{D^3}{3!}+\dots )f(x)=(e^D-1)f(x),$

т.е. $\mathrm{\Delta }=e^D-1$ и тогда $\mathrm{\Sigma }={\mathrm{\Delta }}^{-1}=\frac{1}{e^D-1}$, а поскольку $\frac{z}{e^z-1}=\sum _{k⩾0}{B}_k\frac{z^k}{k!}$, то

$\sum =\frac{B_0}{D}+\frac{B_1}{1!}+\frac{B_2}{2!}D+\frac{B_3}{3!}{D}^2+\dots =\int +\sum _{k⩾1}\frac{B_k}{k!}{D}^{k-1}.$

Применяя это операторное соотношение к $f(x)$, получаем искомую формулу, но без остаточного члена.

Этот вывод чисто формальный и не касается вопросов сходимости.

Доказательство с остаточным членом

Достаточно доказать формулу при $a=0,b=1$, поскольку мы можем любой отрезок $[a;b]$ с целыми границами разбить на отрезки длины 1 и сдвигом перевести их в $[0;1]$. При $a=0,b=1$ формула имеет вид

$f(0)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx+{\sum _{k=1}^m\frac{B_k}{k!}{f}^{(k-1)}(x)|}_0^1+(-1{)}^{(m+1)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{B_m(x)}{m!}{f}^{(m)}(x)dx.$

Доказательство будем вести индукцией по m.

База. При $m=1,B_1(x)=x-\frac{1}{2}$. Интегрируя по частям, при $u(x)=f(x),v(x)=x-\frac{1}{2}$, мы получаем:

$f(0)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx-\frac{1}{2}(f(1)-f(0))+\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-\frac{1}{2})f^{\prime }(x)dx.$

Шаг. Шаг индукции равносилен доказательству равенства $R_{m-1}={\frac{B_m}{m!}{f}^{(m-1)}(x)|}_0^1+R_m$, то есть нужно доказать, что

${(-1{)}^m{B}_m{f}^{(m-1)}(x)|}_0^1=m\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_{m-1}(x)f^{(m-1)}(x)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{B}_m(x)f^{(m)}(x)dx.$

Здесь снова применима формула интегрирования по частям при $u(x)=f^{(m-1)}(x),v(x)=B_m(x)$: ${B_m}^{\prime }(x)=m{B}_{m-1}(x)$, поэтому формула верна благодаря тому, что

${(-1{)}^m{B}_m{f}^{(m-1)}(x)|}_0^1={B_m(x)f^{(m-1)}(x)|}_0^1,$

то есть $(-1{)}^m{B}_m=B_m(1)=B_m(0)$, а это верно, поскольку при нечётных m у нас $B_m=0,$.

Применение

Сумма степеней

Вычислим сумму степеней $\sum _{a⩽k<b}{k}^{m-1}$. Положим $f(x)=x^{m-1}$, тогда $f^{(m)}(x)=0$ и $R_m=0$, вычисляя интегралы, получаем:

$\sum _{a⩽k<b}{k}^{m-1}=\frac{1}{m}\sum _{k=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})B_k(b^{m-k}-a^{m-k}).$

Сумма обратных квадратов

Шаблон:Main

Вычислить сумму

$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}.$

Эйлер вычислил эту сумму до 20 десятичных знаков с помощью небольшого числа членов формулы Эйлера-Маклорена в 1735. Это, вероятно, убедило его в том, что эта сумма равна $\frac{{\pi }^2}{6}$, что и было им доказано в том же году.

Численное интегрирование

Формула Эйлера-Маклорена также может быть использована для детального анализа ошибок численных методов интегрирования. Она объясняет высокую производительность метода трапеций на гладких периодических функциях и используется в определенных методах экстраполяции. Clenshaw–Curtis quadrature существенно изменяет переменные, выражая произвольный интеграл в терминах интегралов периодических функций, для которых приближение Эйлера-Маклорена особенно точно (в этом частном случае формула Эйлера-Маклорена берется в форме дискретного косинус-преобразования). Эта техника называется преобразованием к периодической функции.

Асимптотическое выражение для суммы

Для вычисления асимптотического выражения суммы или ряда обычно чаще всего используется следующая форма формулы Эйлера-Маклорена:

$\sum _{n=a}^{b}f(n)\sim \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum _{k=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)),$

где a,b - целые. Часто формула остается справедливой и при расширении пределов $a\to -\mathrm{\infty }$ или $b\to +\mathrm{\infty }$, или обоих. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций, даже если сумма в левой части так не может быть выражена. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены в терминах элементарных функций. Например,

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z+k{)}^2}\sim \underset{=1/z}{\underbrace{\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{(z+k{)}^2}dk}}+\frac{1}{2z^2}+\sum _{t=1}^{+\mathrm{\infty }}\frac{B_{2t}}{z^{2t+1}}.$

Здесь левая часть равна ${\psi }^{(1)}(z)$, называемая полигамма-функцией первого порядка, определяемая как ${\psi }^{(1)}(z)=\frac{d^2}{d{z}^2}\ln \mathrm{\Gamma }(z)$; гамма-функция $\mathrm{\Gamma }(z)$ равна $(z-1)!$, если z натуральное. Полученный результат есть асимптотическое разложение ${\psi }^{(1)}(z)$. Это выражение используется как отправной пункт для получения оценки точной ошибки формулы Стирлинга для факториала.

Аппроксимация для гармонических чисел

Полагаем $f(x)=x^{-1}$, тогда $f^{(m)}(x)=(-1{)}^{m}m!x^{-m-1}=O(x^{-m-1})$ и тогда получаем

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}-\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{2k{n}^{2k}}-{\theta }_{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}},$

где $0<{\theta }_{m,n}<1$. Отсюда можно относительно быстро вычислить постоянную Эйлера $\gamma$.

Аппроксимация Стирлинга для факториала

Полагаем $f(x)=\ln x$, тогда $f^{\prime }(x)=x^{-1},f^{(m+1)}(x)=(-1{)}^{m}m!x^{-m-1}$ и тогда получаем

$\sum _{k=1}^n\ln k=n\ln n-n+\sigma -\frac{\ln n}{2}+\sum _{k=1}^m\frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}}-{\varphi }_{m,n}\frac{B_{2m+2}}{(2m+1)(2m+2)n^{2m+1}},$

где на самом деле $\sigma =\ln \sqrt{2\pi }$. Взяв экспоненту от обеих частей, получим формулу Стирлинга.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга