C*-алгебра

$C^{*}$-алгебра — банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряжённого оператора.

Впервые были рассмотрены для применения в квантовой механике в качестве алгебр физически наблюдаемых объектов. Это направление исследований началось с матричной квантовой механики Вернера Гейзенберга и в более математически развитой форме с работ Паскуаля Йордана около 1933 года. Впоследствии Джон фон Нейман попытался установить общую структуру этих алгебр, создав серию работ о кольцах операторов. В этих работах рассматривался особый класс $C^{*}$-алгебр, впоследствии ставший известным как алгебры фон Неймана. В 1943 году Израиль Гельфанд и Марк Наймарк, используя понятие вполне регулярных колец, дали общее определение $C^{*}$-алгебр, с того момента $C^{*}$-алгебры нашли широкое применение в алгебраических формулировках квантовой механики. Другой активной областью исследований стала классификация или определение степени возможной классификации для сепарабельных простых ядерных $C^{*}$-алгебр.

Частным случаем $C^{*}$-алгебры является комплексная алгебра над полем $A$ линейных непрерывных операторов на комплексном гильбертовом пространстве с двумя дополнительными свойствами:

• $A$ является топологически замкнутым множеством в топологии операторной нормы,
• $A$ замкнуто относительно операции взятия сопряжений операторов.

Другой важный класс негильбертовых $C^{*}$-алгебр составляют алгебры непрерывных функций $C_0(X)$ на пространстве $X$.

Определения

Согласно определению, данному Гельфандом и Наймарком$C^{*}$-алгеброй называют, $C^{*}$-алгебра определяется как банахова алгебра $A$ над полем комплексных чисел, для каждого элемента которой $x\in A$ которой определено отображение $x\mapsto x^{*}$ со следующими свойствами:

• инволютивность: $x^{**}=(x^{*}{)}^{*}=x$,
• согласованность со сложением: $(x+y{)}^{*}=x^{*}+y^{*}$,
• согласованность с умножением: $(xy{)}^{*}=y^{*}{x}^{*}$,
• для всякого $\lambda \in ℂ$ выполнено $(\lambda x{)}^{*}=\bar{\lambda }{x}^{*}$,
• выполнено так называемое $C^{*}$-тождество: $\Vert x^{*}x\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{*}\Vert$

Все эти свойства без $C^{*}$-тожества определяют ${*}^{}$-алгебру (то есть $C^{*}$-алгебра — это ${*}^{}$-алгебра с $C^{*}$-тождеством). $C^{*}$-тождество эквивалентно формуле:

$\Vert x{x}^{*}\Vert =\Vert x{\Vert }^2$.

$C^{*}$-тождество является весьма сильным требованием, например, вместе с формулой спектрального радиуса из него следует, что $C^{*}$-норма однозначно определяется алгебраической структурой:

$\Vert x{\Vert }^2=\Vert x^{*}x\Vert =\sup \{|\lambda |:x^{*}x-\lambda 1\text{— необратим}\}$.

Ограниченный оператор $\pi :A\to B$ между $C^{*}$-алгебрами $A$ и $B$ называется ${*}^{}$-гомоморфизмом, если для всех $x$ и $y$ из $A$ выполняется:

$\pi (xy)=\pi (x)\pi (y)$

и для всех $x$ из $A$ выполняется:

$\pi (x^{*})=\pi (x{)}^{*}$.

В случае $C^{*}$-алгебр, любой ${*}^{}$-гомоморфизм $\pi$ между $C^{*}$-алгебрами является сжимающим, то есть ограниченным нормой $⩽1$. Кроме того, инъективный ${*}^{}$-гомоморфизм между $C^{*}$-алгебрами является изометрическим. Эти свойства являются следствиями $C^{*}$-тождества.

Биективный ${*}^{}$-гомоморфизм $\pi$ называется $C^{*}$-изоморфизмом, и в этом случае $A$ и $B$ называются изоморфными.

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Springer
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation