Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

В математике, дифферинтеграл Римана — Лиувилля отображает вещественную функцию $f:ℝ\to ℝ$ в другую функцию $I^{\alpha }f$ того же типа для каждого значения параметра $\alpha >0$. Данный дифферинтеграл является обобщением повторной первообразной от $f$ в том смысле, что для целых положительных значений $\alpha$, $I^{\alpha }f$ представляет собой повторную первообразную функции $f$ порядка $\alpha$. Дифферинтеграл Римана — Лиувилля назван в честь Бернхарда Римана и Жозефа Лиувилля, последний из которых был первым, кто рассмотрел возможность дробного исчисления в 1832 году. Данный оператор согласуется с преобразованием Эйлера при действии на аналитические функции. Он был обобщён на произвольные размерности Марселем Рисом, который ввёл потенциал Риса.

Интеграл Римана — Лиувилля определяется как:

$I^{\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)(x-t{)}^{\alpha -1}dt,$

где $\mathrm{\Gamma }$ — гамма-функция, а $a$ — произвольная, но фиксированная точка отсчёта. То что данный интеграл хорошо определён обеспечивается локальной интегрируемостью функции $f$, $\alpha$ — комплексное число в полуплоскости $\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha >0$. Зависимость от точки отсчёта $a$ часто не существенна и представляет собой свободу в выборе константы интегрирования. $I^{1}f$ конечно же является первообразной (первого порядка) функции $f$, для целых положительных значений $\alpha$ $I^{\alpha }f$ представляет собой первообразную порядка $\alpha$ в соответствии с формулой повторного интегрирования Коши. В других обозначениях, подчёркивающих зависимость от точки отсчёта имеет вид:

${}_a{𝔻}_x^{-\alpha }f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)(x-t{)}^{\alpha -1}dt.$

Данное выражение имеет смысл и при $a=-\mathrm{\infty }$, с соответствующими ограничениями на $f$.

Фундаментальными соотношениями остаются:

$\frac{d}{dx}{I}^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,$

последние из которых представляет собой полугрупповое свойство. Эти свойства позволяют не только определить дробное интегрирование, но и дробное дифференцирование посредством взятия достаточного числа производных функции $I^{\alpha }f$.

Свойства

Пусть $(a,b)$ — фиксированный ограниченный интервал. Оператор $I^{\alpha }$ отображает любую интегрируемую функцию $f$ на $(a,b)$ в функцию $I^{\alpha }f$ на $(a,b)$, которая также интегрируема по теореме Фубини. Таким образом, $I^{\alpha }$ определяет линейный оператор на пространстве $L^1(a,b)$:

$I^{\alpha }:L^1(a,b)\to L^1(a,b).$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на $L^1$. Таким образом, верно следующее неравенство:

$\Vert I^{\alpha }f{\Vert }_1⩽\frac{|b-a{|}^{\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha }}{\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha |\mathrm{\Gamma }(\alpha )|}\Vert f{\Vert }_1.$

Здесь $\Vert \cdot {\Vert }_1$ обозначает норму в $L^1(a,b)$.

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если $f$ принадлежит $L^p(a,b)$, то и $I^{\alpha }f$ также принадлежит $L^p(a,b)$ и выполняется аналогичное неравенство:

$\Vert I^{\alpha }f{\Vert }_p⩽\frac{|b-a{|}^{\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha /p}}{\mathrm{R}\mathrm{e}\alpha |\mathrm{\Gamma }(\alpha )|}\Vert f{\Vert }_p,$

где $\Vert \cdot {\Vert }_p$ — норма в пространстве $L^p$ на интервале $(a,b)$. Таким образом, $I^{\alpha }$ определяет ограниченный линейный оператор из $L^p(a,b)$ в себя. Более того, $I^{\alpha }f$ стремится к $f$ в $L^p$-смысле при $\alpha \to 0$ вдоль вещественной оси. То есть:

$\underset{\alpha \to 0+}{\lim }\Vert I^{\alpha }f-f{\Vert }_p=0$

для всех $p⩾1$. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора $I$ можно доказать поточечную сходимость $I^{\alpha }f\to f$ почти всюду.

Оператор $I^{\alpha }$ хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой $ℝ$. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа $X_{\sigma }=L^1(e^{-\sigma |t|}dt)$, состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

$\Vert f\Vert =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(t)|e^{-\sigma |t|}dt$

конечна. Для $f$ из $X_{\sigma }$ преобразование Лапласа функции $I^{\alpha }f$ принимает особенно простую форму:

$(ℒI^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),$

где $\mathrm{R}\mathrm{e}s>\sigma$. Здесь через $F(s)$ обозначено преобразование Лапласа функции $f$ и это свойство выражает тот факт, что $I^{\alpha }$ представляет собой Фурье-мультипликатор.

Дробные производные

Можно также определить производные дробного порядка от функции $f$:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\frac{d^{\lceil \alpha \rceil }}{d{x}^{\lceil \alpha \rceil }}{I}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,$

где через $\lceil \cdot \rceil$ обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

${𝔻}_x^{\alpha }f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{d^{\lceil \alpha \rceil }}{d{x}^{\lceil \alpha \rceil }}{I}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),& \alpha >0;\\ f(x),& \alpha =0;\\ I^{-\alpha }f(x),& \alpha <0.\end{array}$

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web