p-адическое число

Шаблон:Mvar-адическое число^[1] — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа Шаблон:Mvar как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно Шаблон:Mvar-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на Шаблон:Mvar.

Шаблон:Mvar-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году^[2].

Поле Шаблон:Mvar-адических чисел обычно обозначается $ℚ_{p}$ или $𝐐_{p}$ .

Алгебраическое построение

Целые Шаблон:Mvar-адические числа

Стандартное определение

Целым Шаблон:Mvar-адическим числом для заданного простого Шаблон:Mvar называетсяШаблон:Sfn бесконечная последовательность $x = {x_{1}, x_{2}, \dots}$ вычетов $x_{n}$ по модулю $p^{n}$ , удовлетворяющих условию:

x_{n} \equiv x_{n + 1} (\mod p^{n}) .

Сложение и умножение целых Шаблон:Mvar-адических чисел определяется как почленное сложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственно проверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых Шаблон:Mvar-адических чисел обычно обозначается $ℤ_{p}$ .

Определение через проективный предел

В терминах проективных пределов кольцо целых $p$ -адических чисел определяется как предел

\lim_{\leftarrow} ℤ / p^{n} ℤ

колец $ℤ / p^{n} ℤ$ вычетов по модулю $p^{n}$ относительно естественных проекций $ℤ / p^{n + 1} ℤ \to ℤ / p^{n} ℤ$ .

Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа $p$ , но и любого составного числа $m$ — получится т. н. кольцо $m$ -адических чисел, но это кольцо в отличие от $ℤ_{p}$ обладает делителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, к нему неприменимы.

Свойства

Обычные целые числа вкладываются в $ℤ_{p}$ очевидным образом: $x = {x, x, \dots}$ и являются подкольцом.

Файл:P adic arithm.gif

Пример выполнения арифметических операций над 5-адическими числами.

Беря в качестве элемента класса вычетов число $a_{n} = x_{n} mod p^{n}$ (таким образом, $0 \leq a_{n} < p^{n}$ ), мы можем записать каждое целое Шаблон:Mvar-адическое число в виде $x = {a_{1}, a_{2}, \dots}$ однозначным образом. Такое представление называется каноническим. Записывая каждое $a_{n}$ в [[позиционная система счисления|Шаблон:Mvar-ичной системе счисления]] $a_{n} = b_{n} \dots b_{2} b_{1}$ и, учитывая, что $a_{n} \equiv a_{n + 1} (\mod p^{n})$ , возможно всякое Шаблон:Mvar-адическое число в каноническом виде представить в виде $x = {b_{1}, b_{2} b_{1}, b_{3} b_{2} b_{1}, \dots}$ или записать в виде бесконечной последовательности цифр в Шаблон:Mvar-ичной системе счисления $x = {\dots b_{n} \dots b_{2} b_{1}}$ . Действия над такими последовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения, вычитания и умножения «столбиком» в Шаблон:Mvar-ичной системе счисления.

В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют Шаблон:Mvar-адические числа с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходного числа. Отрицательным числам соответствуют Шаблон:Mvar-адические числа с бесконечным числом ненулевых цифр, например в пятеричной системе −1=…4444=(4).

Шаблон:Mvar-адические числа

Определение как поля частных

Шаблон:Mvar-адическим числом называется элемент поля частных $ℚ_{p}$ кольца $ℤ_{p}$ целых Шаблон:Mvar-адических чисел. Это поле называется полем Шаблон:Mvar-адических чисел.

Свойства

Поле Шаблон:Mvar-адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.

Файл:P adic division.gif

Пример выполнения деления 5-адических чисел.

Нетрудно доказать, что любое целое Шаблон:Mvar-адическое число, не кратное Шаблон:Mvar, обратимо в кольце $ℤ_{p}$ , а кратное Шаблон:Mvar однозначно записывается в виде $x p^{n}$ , где Шаблон:Mvar не кратно Шаблон:Mvar и поэтому обратимо, а $n > 0$ . Поэтому любой ненулевой элемент поля $ℚ_{p}$ может быть записан в виде $x p^{n}$ , где Шаблон:Mvar не кратно Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar любое; если Шаблон:Mvar отрицательно, то, исходя из представления целых Шаблон:Mvar-адических чисел в виде последовательности цифр в Шаблон:Mvar-ичной системе счисления, мы можем записать такое Шаблон:Mvar-адическое число в виде последовательности $x = {\dots b_{k} \dots b_{2} b_{1}, b_{0} b_{- 1} \dots b_{n + 1}}$ , то есть, формально представить в виде Шаблон:Mvar-ичной дроби с конечным числом цифр после запятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой. Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному» правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическое построение

Любое рациональное число $r$ можно представить как $r = p^{n} \frac{a}{b}$ где $a$ и $b$ целые числа, не делящиеся на $p$ , а $n$ — целое. Тогда $| r |_{p}$ — $p$ -адическая норма $r$ — определяется как $p^{- n}$ . Если $r = 0$ , то $| r |_{p} = 0$ .

Поле $p$ -адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел с метрикой $d_{p}$ , определённой $p$ -адической нормой: $d_{p} (x, y) = | x - y |_{p}$ . Это построение аналогично построению поля вещественных чисел как пополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной.

Норма $| r |_{p}$ продолжается по непрерывности до нормы на $ℚ_{p}$ .

Свойства

Каждый элемент Шаблон:Mvar поля Шаблон:Mvar-адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда

x = \sum_{i = n_{0}}^{\infty} a_{i} p^{i}

где

n_{0}

— некоторое целое число, а

a_{i}

— целые неотрицательные числа, не превосходящие

p - 1

. А именно, в качестве

a_{i}

здесь выступают цифры из записи Шаблон:Mvar в системе счисления с основанием Шаблон:Mvar. Такая сумма всегда сходится в метрике

d_{p}

к самому

x

.

Шаблон:Mvar-адическая норма $| x |_{p}$ удовлетворяет сильному неравенству треугольника

| x - z |_{p} \leq \max {| x - y |_{p}, | y - z |_{p}} .

Числа $x \in ℚ_{p}$ с условием $| x |_{p} \leq 1$ образуют кольцо $ℤ_{p}$ целых Шаблон:Mvar-адических чисел, являющееся пополнением кольца целых чисел $ℤ \subset ℚ$ в норме $| x |_{p}$ .
Числа $x \in ℚ_{p}$ с условием $| x |_{p} = 1$ образуют мультипликативную группу и называются Шаблон:Mvar-адическими единицами.
Совокупность чисел $x \in ℚ_{p}$ с условием $| x |_{p} < 1$ является главным идеалом в $ℤ_{p}$ с образующим элементом Шаблон:Mvar.

Метрическое пространство $(ℤ_{p}, d_{p})$ гомеоморфно канторову множеству, а пространство $(ℚ_{p}, d_{p})$ гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
Для различных Шаблон:Mvar нормы $| x |_{p}$ независимы, а поля $ℚ_{p}$ неизоморфны.
Для любых элементов $r_{\infty}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , $r_{5}$ , $r_{7}$ , … таких, что $r_{\infty} \in ℝ$ и $r_{p} \in ℚ_{p}$ , можно найти последовательность рациональных чисел $x_{n}$ таких, что для любого Шаблон:Mvar выполнено $| x_{i} - r_{p} |_{p} \to 0$ и $| x_{i} - r_{\infty} | \to 0$ .

Применения

Если $F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех $k$ сравнения

F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) \equiv 0 (\mod p^{k})

эквивалентна разрешимости уравнения

F (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 0

в целых

p

-адических числах. Необходимым условием разрешимости этого уравнения в целых или рациональных числах является его разрешимость в кольцах или, соответственно, полях

p

-адических чисел при всех

p

, а также в поле вещественных чисел. Для некоторых классов многочленов (например, для квадратичных форм) это условие является также достаточным.

На практике для проверки разрешимости уравнения в целых

p

-адических числах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения для определенного конечного числа значений

k

. Например, согласно лемме Гензеля, при

n = 1

достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральных

k

служит наличие простого решения у сравнения по модулю

p

(то есть, простого корня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю

p

). Иначе говоря, при

n = 1

для проверки наличия корня у уравнения в целых

p

-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующее сравнение при

k = 1

.

$p$ -адические числа находят широкое применение в теоретической физике^[3]. Известны $p$ -адические обобщённые функции^[4], p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова)^[5], p-адическая квантовая механика^[6]^[7], p-адическая спектральная теория^[8], p-адическая теория струн^[9]^[10]

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Шаблон:Книга
Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции, — Шаблон:М: Мир, 1982.
Шаблон:Nobr Курс арифметики, — Шаблон:М: Мир, 1972.
Шаблон:Статья
Конрад К. Введение в p-адические числа Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна

Шаблон:Навигационная таблица

↑ Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.
↑ Шаблон:Статья Шаблон:Ref-de
↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993
↑ Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53
↑ Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789
↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676
↑ Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53
↑ Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)
↑ Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84
↑ Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.

[1] Произносится: пэ-адическое; соответственно: два-адическое, три-адическое и т. п.

[2] Шаблон:Статья Шаблон:Ref-de

[3] Vladimiriv V. S., Volovich I. V., Zelenov E. I. P-adic analysis and mathematical physics // Singapure: World Sci., 1993

[4] Владимиров В. С. «Обобщённые функции над полем p-адических чисел» // УМН, 1988, т. 43 (5), с. 17-53

[5] Владимиров В. С. О спектральных свойствах p-адических псевдодифференциальных операторов типа Шредингера // Изв. РАН, Сер. мат., 1992, т. 56, с. 770—789

[6] Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic quantum mechanics // Commun. Math. Phys., 1989, vol. 123, P. 659—676

[7] Vladimiriv V. S., Volovich I. V. P-adic Schrodinger-type equation // Lett. Math. Phys., 1989, vol. 18, P. 43-53

[8] Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленов Е. И. Спектральная теория в p-адической квантовой механике и теория представлений // Изв. АН СССР, т. 54 (2), с. 275—302, (1990)

[9] Volovich I. V. P-adic string // Class. Quant. Grav., 1987, vol. 4, P. L83-L84

[10] Frampton P. H. Retrospective on p-adic string theory // Труды математического института имени В. А. Стеклова. Сборник, № 203 — М.: Наука, 1994. — isbn 5-02-007023-8 — С. 287—291.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

p-адическое число

Содержание

Алгебраическое построение

Целые Шаблон:Mvar-адические числа

Стандартное определение

Определение через проективный предел

Свойства

Шаблон:Mvar-адические числа

Определение как поля частных

Свойства

Метрическое построение

Свойства

Применения

См. также

Примечания

Литература

Навигация

p-адическое число

Алгебраическое построение

Целые Шаблон:Mvar-адические числа

Стандартное определение

Определение через проективный предел

Свойства

Шаблон:Mvar-адические числа

Определение как поля частных

Свойства

Метрическое построение

Свойства

Применения

См. также

Примечания

Литература

Навигация

Поиск