Двойственная категория

Двойственная категория (дуальная категория) — категория, построенная из заданной согласно теоретико-категорному принципу двойственности, то есть, для категории $𝒞$ двойственной является категория ${𝒞}^{op}$ с теми же объектами, что и $𝒞$ и с множествами морфизмов ${\text{Hom}}_{{𝒞}^{op}}(A,B)={\text{Hom}}_{𝒞}(B,A)$ («обращение стрелок»). Композиция морфизмов в $f$ и $g$ в категории ${𝒞}^{op}$ определяется как композиция $g$ и $f$ в $𝒞$. Понятия и утверждения, относящиеся к категории $𝒞$, заменяются двойственными понятиями и утверждениями в ${𝒞}^{op}$. Применение двойственности дважды переводит категорию в себя.

Примеры

• Категория булевых алгебр эквивалентна двойственной категории пространств Стоуна и непрерывных функций.
• Категория аффинных схем эквивалентна двойственной категории коммутативных колец.
• Двойственность Понтрягина можно ограничить на эквивалентность категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и двойственной категории (дискретных) абелевых групп.
• Согласно теореме Гельфанда — Ноймарка категория локально измеримых пространств (и измеримых функций) эквивалентна двойственной категории коммутативных алгебр фон Неймана.

Свойства

• $(𝒞\times 𝒟{)}^{op}\cong {𝒞}^{op}\times {𝒟}^{op}$ (см. категория произведения)
• $(Funct(𝒞,𝒟){)}^{op}\cong Funct({𝒞}^{op},{𝒟}^{op})$ (см. категория функторов)
• $(F\downarrow G{)}^{op}\cong (G^{op}\downarrow F^{op})$ (см. категория запятой)

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика