Внешняя алгебра

Ориентация, определяемая упорядоченным набором векторов

Внешняя алгебра, или алгебра Грассмана, — ассоциативная алгебра, используемая в геометрии при построении теории интегрирования в многомерных пространствах. Впервые введена Грассманом в 1844 году.

Внешняя алгебра над пространством $V$ обычно обозначается $\bigwedge V$. Важнейшим примером является алгебра дифференциальных форм на данном многообразии.

Определение и связанные понятия

Внешней алгеброй $\bigwedge V$ векторного пространства $V$ над полем $K$ называют ассоциативную факторалгебру тензорной алгебры $T(V)$ по двустороннему идеалу $I$, порождённому элементами вида $x\otimes x,x\in V$:

$\bigwedge V=T(V)/I$.

Если характеристика поля $\mathrm{char}(K)\ne 2$, то идеал $I$ в точности совпадает с идеалом, порождённым элементами вида $x\otimes y+y\otimes x$.

Умножение $\wedge$ в такой алгебре при этом называют внешним произведением. По построению оно антикоммутативно:

$x\wedge y=-(y\wedge x).$

k-й внешней степенью пространства $V$ называют векторное пространство ${\wedge }^{k}V$, порождённое элементами вида

$x_1\wedge x_2\wedge \cdots \wedge x_k,x_i\in V,i=1,2,\dots ,k,$

причём $\dim {\bigwedge }^{k}V=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ и Шаблон:Math при Шаблон:Math.

Если $\dim V=n$ и Шаблон:Math — базис $V$, то базисом ${\bigwedge }^{k}V$ является множество

$\{e_{i_1}\wedge e_{i_2}\wedge \cdots \wedge e_{i_k}|k=1,2,\cdots ,n\text{ и }1⩽i_1<i_2<\cdots <i_k⩽n\}.$

Тогда

$\bigwedge (V)={\bigwedge }^0(V)\oplus {\bigwedge }^1(V)\oplus {\bigwedge }^2(V)\oplus \cdots \oplus {\bigwedge }^n(V),$

причём легко заметить, что внешняя алгебра естественным образом имеет градуировку: если $\alpha \in {\bigwedge }^k\left(V\right)$ и $\beta \in {\bigwedge }^p\left(V\right)$, то

$\alpha \wedge \beta =(-1{)}^{kp}\beta \wedge \alpha \in {\bigwedge }^{k+p}\left(V\right).$

Свойства

• Элементы пространства ${\bigwedge }^{r}V$ называются r-векторами. В случае, когда характеристика основного поля равна 0, их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над $V,$ с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть внешнее произведение двух антисимметрических тензоров является композицией полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
  • В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:

    $(𝐚\wedge 𝐛{)}_{ij}=a_i{b}_j-a_j{b}_i.$

  • Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу

    $(𝐚\wedge 𝐛{)}_{ij}=(a_i{b}_j-a_j{b}_i)/2.$

• Внешний квадрат произвольного вектора $\omega \in {\wedge }^{1}V$ нулевой:

${\omega }^{\wedge 2}=\omega \wedge \omega =0.$

• Для r-векторов при чётном r это неверно. Например

$({𝐞}_1\wedge {𝐞}_2+{𝐞}_3\wedge {𝐞}_4{)}^{\wedge 2}=2\cdot {𝐞}_1\wedge {𝐞}_2\wedge {𝐞}_3\wedge {𝐞}_4.$

• Линейно независимые системы из $r$-векторов $x_1,\dots ,x_r$ и $y_1,\dots ,y_r$ из $V$ порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда $r$-векторы $x_1\wedge \dots \wedge x_r$ и $y_1\wedge \dots \wedge y_r$ пропорциональны.

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Шаблон:М: Факториал Пресс, 2002. — ISBN 5-88688-060-7
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Шаблон:М: Физматлит, 2009.
• Шутц Б. Геометрические методы математической физики. — Шаблон:М: Мир, 1984.
• Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. — Шаблон:М: Наука, 1977.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Тензорная алгебра
• Симметрическая алгебра
• Поливектор