Рациональные тригонометрические суммы

Рациональные тригонометрические суммы — комплексные суммы особого вида, которые могут использоваться при доказательстве теорем аналитической теории чисел

Определение

Рациональными тригонометрическими суммами называются суммы вида $S_{\phi }(q)=\sum _{x=1}^q{e}^{2\pi i\frac{\phi (x)}{q}}$, где $\phi (x)=\sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k$ — многочлен с целыми коэффициентами, причём $(a_0,\dots ,a_n,q)=1$ (при нетривиальном наибольшем общем делителе дробь можно сократить и привести к общему виду).

Некоторые оценки

При оценке рациональных тригонометрических сумм в математике рассматривают, как правило, верхнюю оценку на модуль суммы, так как его значительно проще оценивать. В связи с этим принимается, что $a_0=0$, так умножение такой суммы на $e^{2\pi i{a}_0}$ не изменяет её абсолютной величины.

Частные случаи

Линейные суммы

Если $\phi (x)=ax$, то, пользуясь нотацией Айверсона, можно указать, что $S_{\phi }(q)=q[q\mid a]$. Доказательство этого факта тривиально следует из того, что сумма корней из единицы по любому целому основанию нулевая. Такие суммы называются линейными.

Суммы Гаусса (квадратичные)

Рациональные тригонометрические суммы над многочленами вида $\phi (x)=a{x}^2$ называются суммами Гаусса.

Для таких сумм известны точные значения абсолютной величины, а именно

$|S_{\phi }(q)|=\{\begin{array}{cc}\sqrt{q},& q\equiv 1mod2\\ \sqrt{2q},& q\equiv 0mod4\\ 0,& q\equiv 2mod4\end{array}$

Общие оценки

Далее для удобства изложения примем $n=\mathrm{deg}\phi$.

Хуа вывел оценку $|S_{\phi }(q)|<c(n)q^{1-\frac{1}{n}}$, где $c(n)$ — константа, зависящая только от $n$. То есть $|S_{\phi }(q)|=O(q^{1-\frac{1}{n}})$ при фиксированном $n$.

Если $\phi (x)=a{x}^n$, то при простом $q>2$ верна более точная оценка $|S_{\phi }(q)|\le (n-1)\sqrt{q}$.

Частичные линейные суммы

Пользуясь стандартной формулой суммы геометрической прогрессии, можно вывести, что для $\phi (x)=\frac{ax}{q}$ выполнено

$\left|\sum _{x=1}^m{e}^{2\pi i\phi (x)}\right|=\left|\frac{e^{2\pi i\frac{a}{q}}-e^{2\pi i\frac{a(m+1)}{q}}}{1-e^{2\pi i\frac{a}{q}}}\right|\le \frac{2}{\min \left(\left\{\frac{a}{q}\right\},1-\left\{\frac{a}{q}\right\}\right)}$,

где $\left\{x\right\}$ означает дробную часть числа $x$.

Невозможность некоторых нетривиальных оценок

А. А. Карацуба доказал, что при $n>\left(\frac{1}{2\log 2}-\epsilon \right)\frac{p}{\log p},\phi (x)=a{x}^n$ существует бесконечно много простых $p$, для которых $|S_{\varphi }(p)|>\left(1-\delta (\epsilon )\right)p$, где $\delta (\epsilon )\to 0$ при $\epsilon \to 0$, то есть при таких $n$ для соответствующих тригонометрических сумм невозможны оценки сверху, необходимые для большинства приложений.

Применение

В первом доказательстве квадратичного закона взаимности (Гаусс, 1795) использовались суммы Гаусса над многочленом вида $\phi (x)=\frac{a{x}^2}{q}$.

Виноградов с помощью рациональных тригонометрических сумм вывел приближённое описание распределения квадратичных вычетов и невычетов.

Рассматриваемые суммы могут также находить применение при доказательстве проблемы Варинга методами аналитической теории чисел.

История

Тригонометрические суммы впервые применил Гаусс в 1795 году для доказательства квадратичного закона взаимности.

См. также

• Суммы Рамануджана
• Суммы Вейля
• Формула Эйлера