q-аналог

Q-аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, вовлекающее новый параметр q, возвращающий исходную теорему, тождество или выражение в пределе при Шаблон:Math. Обычно математики интересуются q-аналогами, появляющимися естественным образом, а не выдумывают произвольные q-аналоги для известных результатов. Наиболее ранним q-аналогом являются Шаблон:Не переведено 5, которые изучались в XIX векеШаблон:Sfn.

Q-аналоги чаще всего используются в комбинаторике и в теории специальных функций. В этих условиях предел Шаблон:Math часто формален, так как Шаблон:Mvar часто дискретен (например, он может представлять степень простого числа). Q-аналоги находят применение во многих областях, включая такие как изучение фракталов и мультифрактальных мер, и для выражения энтропии хаотических динамических систем. Связь с фракталами и динамическими системами возникает из факта, что многие фрактальные объекты имеют симметрии фуксовых групп в общем (см., например, статьи Шаблон:Не переведено 5 и «Сетка Аполлония») и модулярной группы в частности. Связь проходит через гиперболическую геометрию и эргодическую теорию, где эллиптические интегралы и модулярные формы играют главную роль. Сами Шаблон:Не переведено 5 тесно связаны с эллиптическими интегралами.

Q-аналоги появляются при изучении квантовых групп и в q-возмущённых Шаблон:Не переведено 5. Связь здесь похожа на то, как теория струн строится на языке римановых поверхностей, что приводит к связи с эллиптическими кривыми, которые, в свою очередь, связаны с Шаблон:Не переведено 5.

«Классическая» q-теория

Классическая q-теория начинается с q-аналогов для неотрицательных целых чиселШаблон:Sfn. Равенство

$\underset{q\to 1}{\lim }\frac{1-q^n}{1-q}=n$

предполагает, что мы определяем q-аналог числа n, известный как q-скобка или q-число числа n, равным

$[n{]}_q=\frac{1-q^n}{1-q}=1+q+q^2+\dots +q^{n-1}.$

Выбор среди прочих возможностей конкретно этого q-аналога не имеет определённой причины, однако аналог возникает естественным образом в нескольких контекстах. Например, если решаем использовать обозначение [n]_q для q-аналога числа n, можно определить q-аналог факториала, который известен как q-факториал, следующим образом

$\begin{array}{cc}[n{]}_q!& =[1{]}_q\cdot [2{]}_q\cdots [n-1{]}_q\cdot [n{]}_q\\ & =\frac{1-q}{1-q}\cdot \frac{1-q^2}{1-q}\cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q}\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\\ & =1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).\end{array}$

Этот q-аналог появляется естественным образом в нескольких контекстах. Что примечательно, в то время как n! подсчитывает число перестановок длины n, [n]_q! подсчитывает перестановки с учётом числа Шаблон:Не переведено 5. То есть, если inv(w) означает число инверсий перестановки w, а S_n — множество перестановок длины n, мы имеем

$\sum _{w\in S_n}{q}^{\text{inv}(w)}=[n{]}_q!$

В частности, можно получить привычный факториал путём перехода к пределу $q\to 1$.

Q-факториал имеет также краткое определение в терминах q-символа Похгаммера, базового строительного блока всех q-теорий:

$[n{]}_q!=\frac{(q;q{)}_n}{(1-q{)}^n}.$

От q-факториалов можно перейти к q-биномиальным коэффициентам, известным также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или гауссовы биномиальные коэффициенты:

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q=\frac{[n{]}_q!}{[n-k{]}_q![k{]}_q!}.$

Шаблон:Не переведено 5 определяется как

$e_q^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{[n{]}_q!}.$

Тригонометрические q-функции, вместе с q-преобразованием Фурье, определяются в этом же контексте.

Q-аналоги в комбинаторике

Гауссовы коэффициенты подсчитывают подпространства конечного векторного пространства. Пусть q — число элементов конечного поля (Число q тогда равно степени простого числа, Шаблон:Nowrap, так что использование буквы q целесообразно). Тогда число k-мерных подпространств n-мерного векторного пространства над полем с q элементами равно

${(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}_q.$

При стремлении q к 1 мы получаем биномиальный коэффициент

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}),$

или, другими словами, число k-элементных подмножеств множества с n элементами.

Таким образом, можно рассматривать конечное векторное пространство как q-обобщение множества, а подпространства как q-обобщение подмножеств этого множества. Это плодотворная точка зрения для поиска интересных теорем. Например, имеются q-аналоги Шаблон:Не переведено 5 и теории Рамсея.

q → 1

Шаблон:Main Обратно разрешению менять q и рассмотрению q-аналогов как отклонений можно рассматривать комбинаторный случай Шаблон:Nowrap как предел q-аналогов Шаблон:Nowrap (часто невозможно просто подставить Шаблон:Nowrap в формулу, так что приходится брать предел).

Это можно формализовать в Шаблон:Не переведено 5, где комбинаторика представляется как линейная алгебра над полем с одним элементом. Например, группы Вейля являются просто алгебраическими группами над полем с одним элементом.

Применение в физике

Q-аналоги часто обнаруживаются в точных решениях задач многих тел. В таких случаях предел при Шаблон:Math соответствует относительно простой динамике, то есть без нелинейных возмущений, в то время как Шаблон:Math даёт возможность взглянуть на сложный нелинейный режим с обратной связью.

Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного газа в условиях выметания внешнего магнитного поля с помощью резонанса ФешбахаШаблон:Sfn. Этот процесс описывается моделью с q-возмущённой версией алгебры операторов SU(2) и решение описывается q-возмущёнными показательными и биномиальными распределениями.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Числа Стирлинга
• Диаграмма Юнга

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Шаблон:Springer
• q-analog from MathWorld
• q-bracket from MathWorld
• q-factorial from MathWorld
• q-binomial coefficient from MathWorld